Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир
Шрифт:
По мере увеличения числа отрезков происходит нечто чудесное: фестоны все больше и больше разглаживаются, превращая фигуру в прямоугольник. Дуги становятся более плоскими, а стороны — почти вертикальными.
В пределе бесконечно большого числа частей фигура превратится в прямоугольник. Но, как и прежде, два факта все еще остаются неизменными: нижняя сторона прямоугольника равна r, а высота — r.
Но теперь задача упростилась. Площадь прямоугольника равна его ширине, умноженной на высоту, то есть произведение r и r дает площадь прямоугольника, равную r2.
В таких расчетах приятно то, что бесконечность приходит на помощь. В каждом отдельном шаге фигуры с фестонами выглядели странными и бесперспективными. Но когда вы доходите до ее предела, она становится простой и красивой, и все проясняется. Вот так работает исчисление бесконечно малых в своем лучшем проявлении.
Архимед использовал подобную стратегию, чтобы приблизиться к . Он заменил круг на многогранник с прямыми сторонами, а затем удваивал их число, чтобы приблизиться к идеальной округлости. Но вместо того чтобы согласиться на приближение неопределенной точности, он методично ограничивал , поместив круг между вписанными и описанными многоугольниками, как показано ниже, на 6-, 12- и 24-сторонних фигурах.
Затем с помощью теоремы Пифагора он выразил периметры этих внутренних и внешних многоугольников, начиная с шестигранника и далее для многоугольников с 12, 24, 48 сторонами, и в конечном итоге для 96-стороннего многоугольника. Формула для него позволила доказать, что
В десятичной системе счисления (которой у Архимеда не было) это означает, что находится между 3,1408 и 3,1429.
Этот метод известен как метод исчерпывания [78] , быть может, потому что неизвестные значения числа загоняются между двумя известными числами, сжимающими его с двух сторон. Границы сужаются с каждым удвоением, тем самым исчерпывая возможности для маневра числа .
В пределе бесконечно большого числа сторон многоугольников верхняя и нижняя границы неравенств будут сходиться к . К сожалению, этот предел не такой простой, как у фигуры с фестонами, превратившейся в прямоугольник. Число становится неуловимее, чем когда бы то ни было ранее [79] . В настоящее время посчитано его значение более чем с 2,7 триллиона знаков, но вы никогда не будете знать его точно.
78
Кто хочет посмотреть математическое обоснование Архимедова метода исчерпывания, обратитесь к http://personal.bgsu.edu/~carother/pi/Pi3a.html.
79
Все, кто интересуется героическими вычислениями до очень высокой степени точности, должны воспользоваться страничкой Ричарда Престона о братьях Чудновских. Эта нежная и удивительно смешная история под названием The mountains of pi («Горы “пи”») появилась в номере еженедельного журнала New Yorker от 2 марта 1992 года; ее можно прочитать в вышедшей позднее книге R. Preston, Panic in Level Four (Random House, 2008).
Помимо того что Архимед заложил основу для интегрального исчисления, он показал нам силу пошагового приближения. Прошло более двух тысячелетий, и эта стратегия развилась в современных методах численного анализа [80] . Когда инженеры используют компьютеры для проектирования оптимально обтекаемого автомобиля или биофизики моделируют новый препарат химиотерапии в качестве защелки на раковую клетку, они используют численный анализ.
Математики и программисты, ставшие пионерами в области применения этого метода, создали высокоэффективные алгоритмы, которые можно выполнять миллиарды раз в секунду, что позволяет компьютерам решать задачи из всех областей современной жизни — от биотехнологий до Уолл-стрит и интернета. В каждом случае используется стратегия нахождения ряда приближений, сходящегося в пределе к правильному ответу.
80
Учебник, дающий представление об основных методах численного анализа: W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, and B. P. Flannery, Numerical Recipes, 3rd edition, Cambridge University Press, 2007.
Прим. ред.: Среди огромной литературы по методам численного анализа выделим только одну книгу, которая подойдет и для начинающих математиков: Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.
И нет предела тому, где это можно применить.
Часть IV. Время перемен
До того как я узнал, что такое исчисление [82] , я думал, что это что-то необыкновенное. Мой папа говорил о нем с благоговением. Будучи ребенком Великой депрессии, он не смог пойти учиться в колледж, но, возможно, во время пребывания в южной части Тихого океана, ремонтируя двигатели бомбардировщика B-24, он ощутил, на что способно исчисление. Представьте себе несколько зениток с механическим управлением, ведущих автоматический огонь по заходящим на цель истребителям врага. Отец знал, что исчисление здесь использовалось для прицеливания орудий.
81
«Перемены, в которые мы можем поверить» (англ. Change We Can Believe In) — лозунг предвыборной кампании Барака Обамы. Прим. перев.
82
В русском языке слово «исчисление» без соответствующих прилагательных почти не применяется, а с прилагательными это интегральное и дифференциальное исчисление или исчисление бесконечно малых. Вместе с тем в большинстве словарей исчисление определяется как формальный аппарат, система правил оперирования со знаками. В английском языке слово calculus (исчисление) понимается именно в таком расширенном толковании как «система правил…». Если у кого-то из читателей слово «исчисление» (без прилагательных) будет вызывать удивление или неприятие, то его можно мысленно заменять на «математический анализ». В данной главе при упоминании исчисления в основном подразумевается дифференциальное исчисление. Прим. ред.
Каждый год около миллиона американских студентов проходят курс исчисления [83] . Но мало кто из них действительно понимает, о чем вообще этот курс, или может объяснить, зачем он нужен. Это не их вина. В этом курсе изучается так много методов, которые следует освоить, и так много новых идей, которые необходимо впитать, что легко пропустить общие положения.
Исчисление функций и интегралов [84] — это математика перемен. Она описывает все — от распространения эпидемий до зигзагов крученого мяча в бейсболе. Этот предмет охватывает большой объем материала, и учебники по размеру соответствующие. Многие превышают тысячу страниц, и работать с ними так же приятно, как открывать дверь с дверной пружиной.
83
См. M. Bressoud, The crisis of calculus, Mathematical Association of America (April 2007), доступно на http://www.maa.org/columns/launchings/launchings_04_07.html.
84
То есть дифференциальное и интегральное исчисление. Прим. ред.
Но в этом объемистом фолианте вы обнаружите две идеи, просвечивающие сквозь толщу материала. Все остальное, как любил повторять золотое правило рабби Гиллель, просто комментарии. Эти две идеи — производная и интеграл. Каждая доминирует в своей области исчислений, названных в их честь: дифференциальное и интегральное исчисления.
Грубо говоря, производная расскажет вам, как быстро что-то меняется, а интеграл — сколько это «что-то» накопит. Они родились в разное время и в разных местах: интегралы в Греции около 250 года до н. э., производные — в Англии и Германии в середине XVII века. Тем не менее (поворот в духе романов Диккенса) они оказались кровными родственниками, хотя ученым и потребовалось более двух тысячелетий, чтобы заметить это родство.
В следующей главе мы исследуем столь удивительную связь и понятие интеграла. Но сначала, в рамках подготовительной работы, рассмотрим производные.
Производные существуют вокруг нас, даже если мы не считаем их таковыми. Например, наклон трапа является производной. Как и все производные, он измеряет скорость изменения. В данном случае — на какую высоту за шаг вы поднимаетесь или спускаетесь. Крутой подъем имеет большую производную. У наклона инвалидной коляски с незначительным перепадом она маленькая.
В каждой области практической деятельности есть собственный вариант производной. Будет ли она предельным доходом или темпом роста, скоростью или наклоном — от любого ее названия по-прежнему веет холодком. К сожалению, многие студенты, прослушав курс дифференциального исчисления, приходят к гораздо более узкому толкованию производной как синонима наклона кривой.
Такая путаница понятна и вызвана она тем, что для отображения количественных отношений мы, как правило, применяем графики. Путем графического изображения у как функции от х мы пытаемся представить, как одна переменная влияет на другую. И при этом совершенно не важно, что понимается под скоростью изменения значений на графике. Это могут быть темпы роста вирусов, скорость струи или нечто, что преобразуется в нечто другое, столь же абстрактное, но что можно изобразить как наклон кривой на графике.