Удовольствие от X.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир
Шрифт:
Для формулы, родившейся тринадцать веков назад, это совсем немало.
11. Инструменты силы
Если вы были страстным любителем телевидения в 1980-х, то, конечно, помните сериал под названием «Детективное агентство “Лунный свет”» с живыми диалогами и романтическими отношениями между партнерами по фильму. В нем пару проницательных частных детективов Дэвида Эддисона и Мэдди Хэйс исполняли Брюс Уиллис и Сибилл Шепард.
В ходе расследования одного особенно жестокого дела Дэвид интересуется у помощника, кто ему кажется наиболее вероятным преступником. «Ума не приложу», — отвечает Мэдди. «А вы знаете, чего я не понимаю?» — спрашивает Дэвид. «Логарифмов?» — догадывается помощник. И Дэвид, реагируя на взгляд Мэдди, произносит: «А что? Вы их понимаете?»
Это
То же самое касается и многих других функций [51] , рассматриваемых в высшей математике и началах анализа. Степенные функции, показательные функции — в чем их суть? В этой главе я хочу помочь вам по достоинству оценить их полезность, даже если вам никогда не приходилось нажимать на кнопки инженерного калькулятора.
Математику необходимы функции по той же причине, что и строителю молотки и сверла. Инструменты преобразовывают вещи. То же самое делают функции. Поэтому математики часто обращаются к ним для выполнения преобразований. Но вместо дерева и стали функции обрабатывают числа и графики, а порой и другие функции.
51
Для простоты выражение x2 я назвал функцией, но было бы точнее говорить об отображении x в x2. Я надеюсь, что это сокращение не запутает читателя, поскольку подобные надписи мы видим на кнопках калькулятора.
Чтобы понять, что я имею в виду, давайте построим график уравнения у = 4 — х2. Возможно, вы помните, как это делается: сначала вы рисуете плоскость xy с горизонтальной осью х и вертикальной у. Затем для каждого значения х вычисляете соответствующее значение y; эта пара чисел является координатами одной точки графика на плоскости xy. Например, если х = 1, то уравнение говорит, что y = 4–12 = 4–1 = 3. Таким образом (х, у) = (1, 3) координаты точки. После того как вы вычислите и построите еще несколько точек на плоскости, возникнет следующая картина.
У нас получилась изогнутая математическими плоскогубцами кривая. В уравнении для у функция, которая преобразует x в x2, ведет себя подобно обычному инструменту для сгибания материала. Когда ее прикладывают к любой точке на оси х (прямую от точки х до точки х2 можно представить в виде прямого куска проволоки), плоскогубцы изгибают и вытягивают этот кусок проволоки в направлении вниз так, чтобы получилась изогнутая арка, как показано на рисунке.
А какую роль играет число 4 в уравнении у = 4 — x2? Это гвоздь, на который повесят картину на стену. Он поднимает изогнутые арки из проволоки на 4 единицы вверх. Так как при этом все точки кривой поднимаются на одинаковую высоту, то она считается постоянной функцией.
Данный пример иллюстрирует двойственный характер функций. С одной стороны, это инструменты: x2 изгибает часть оси х, а 4 — ее лифт. С другой — строительные блоки: 4 и x2 можно рассматривать как составные части более сложной функции 4 — х2, точно так же, как провода, аккумуляторы и транзисторы — составные части радиоприемника.
Как только вы начинаете смотреть на мир подобным образом, сразу же везде замечаете функции. Описанная выше в виде арки кривая, в математике называемая параболой, — это автограф, который дала квадратичная функция за кулисами. Ищите ее, когда любуетесь струями фонтана. И если вам доведется побывать в международном аэропорту Детройта, обязательно остановитесь
52
Рекламный ролик о функциях водяных струй в аэропорту Детройта, созданный WET Design, можно посмотреть на сайте http://www.youtube.com/watch?v=VSUKNxVXE4E.
Уилл Хоффман и Дерек Бойл сняли интригующее видео о параболах и их экспоненциальных кузинах, кривых, называемых цепной линией (линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжелая нить или цепь, — отсюда и название). См. WNYC/NPR Radio Lab presents Parabolas (etc.) на сайте http://www.youtube.com/watch?v=rdSgqHuI-mw.
Параболы и константы ассоциируются с более широким классом функций — степенными функциями вида xn, в которых значение переменной x возводится в фиксированную степень n. Для параболы n = 2, для константы n = 0.
Разные значения n дают различные ручные инструменты. Например, возведение х в первую степень (n = 1) дает функцию, которая работает как пандус, отражая устойчивое увеличение роста или спада. Такая функция называется линейной, потому что ее графиком, построенным по точкам с координатами (x, y), является прямая линия. Если вы оставите на улице пустое ведро во время непрекращающегося ливня, то количество воды в нем будет расти линейно во времени.
Еще один полезный инструмент — обратно пропорциональная квадратичная функция у = 1/x2, здесь n = –2. (Степень этой функции равна –2, так как x2 стоит в знаменателе.) Эта функция хороша для описания затухания волн и ослабления сил в зависимости от расстояния х. Например, так затихает звук по мере удаления от источника.
Такие степенные функции служат строительными блоками, используемыми учеными и инженерами для описания роста и спада, которые происходят не слишком быстро. Но если нужен математический динамит, пора распаковать экспоненциальные функции. Они описывают все возможные быстропротекающие процессы — от цепных ядерных реакций до пролиферации бактерий в чашке Петри. Наиболее известный пример — функция у = 10x, то есть 10 возведено в степень х. Не путайте ее с ранее рассмотренными степенными функциями. Здесь показатель (степень х) является переменной, а основание (число 10) постоянной, тогда как в степенной функции, подобной х2, все наоборот. Такая перемена мест (переменной и константы) приводит к огромной разнице между этими функциями: при увеличивающемся значении x экспоненциальная функция с показателем x в конечном итоге растет быстрее любой степенной функции, независимо от ее степени. Экспоненциальный рост — невообразимо быстрый рост.
Вот почему так трудно сложить лист бумаги пополам больше семи-восьми раз [53] . Каждое сложение листа удваивает его толщину, что приводит к ее (толщины) увеличению в геометрической прогрессии. В то же время длина, каждый раз сжимаясь пополам, уменьшается по экспоненциальному закону. После семи сложений толщина стандартного листа из записной книжки становится больше его длины, и поэтому дальше его складывать нельзя. Причем неважно, сколько усилий прикладывает человек при складывании. Предположим, лист можно сложить n раз — в результате стопка должна иметь 2n слоев. Здесь не может быть линейной зависимости, и еще одно сложение невозможно, если толщина стопки больше ее длины.
53
41. Историю о приключениях Бритни Галливан со складыванием бумаги см. в B. allivan, How to fold a paper in half twelve times: An ‘impossible challenge’ solved and explained, Pomona, CA: Historical Society of Pomona Valley, 2002 на сайте http://pomonahistorical.org/12times.htm.