ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
Шрифт:
– Очень, очень рад вас видеть, дорогие друзья!
– воскликнул человечек, пожимая руки путешественникам.
– А я-то думаю, куда же это вы запропастились?
– Только что усмотрели Великий Знак, - отвечал Радикс, - и сейчас же двинулись в путь.
– Ах, вот как!
– сказал Мнимий.
– Ну, тогда другое дело.
А мы вот только доделаем Златоиссеченную Звезду - и все готово к празднику.
– А что это за Звезда?
– спросил Илюша.
– Неужели вы ее не знаете, юноша?
– воскликнул, смеясь, Мнимий.
– Да нет, я уверен, что вы ее много раз видели и смотрели на нее с великим удовольствием, но
– Н-не совсем, - нерешительно произнес Илюша.
– Ну, если не совсем, - отвечал Мним, - тогда идемте!
Вы сейчас увидите, как она делается, и тут вы ее узнаете в единый миг. Прошу!
– 396 -
Они свернули в какую-то маленькую дверцу и прошли коридорчиком, пол которого был устлан красивыми ковриками, a стены расписаны самыми удивительными узорами. Точная правильность их указывала, что это не просто фантастические узоры, но и тонко геометрические. Затем они вошли в большую комнату с низкими кругловатыми сводами, где стояло нечто вроде громадного мольберта, на каких живописцы пишут свои картины, а на нем большая доска.
– Вот, - сказал Мнимий, - сейчас мы с товарищами будем здесь делать Златоиссеченную Звезду, которая повергает неправду. Дело в том, что мы великие друзья с синусами и косинусами...
– Да, вы мне об этом уже говорили, - сказал Илюша.
– А сейчас вы увидите, молодой человек, какой смысл имеет эта великая дружба. Мы сейчас попросим кого-нибудь из наших друзей нам это продемонстрировать.
Немедленно откуда-то появился человечек, ужасно похожий на Мнимия Радиксовича. Он весело раскланялся, взял мел, начертил на доске оси координат и снова очень любезно улыбнулся.
Мнимий сказал:
– Хорошо известные вам оси прямоугольных координат.
Ясно?
– 397 -
– Ясно, - отвечал Илюша.
– С маленькой разницей. То есть горизонтальную ось, ту, которая была у вас осью иксов, мы теперь будем называть действительной осью. А вертикальную, то есть ось игреков, - мнимой осью. Вы, кажется, уже встречались с одной мнимой осью? Вот вам и другая.
Новый знакомец Илюши, маленький комплексный человечек, подошел к осям, ухватился обеими руками за ту точку, где оси пересекались (то есть за так называемое начало координат), и ловко вытянулся. Носки его туфелек выгнулись, а сам он тут же превратился в стрелку. Немедленно от конца этой стрелки, то есть от его сапожков, поползли перпендикулярно к осям какие-то, как показалось Илюше, маленькие мушки. Но когда он пригляделся, то увидел, что это просто точки, из которых образовались две пунктирные линии, перпендикулярные к осям. Тогда на отрезках осей от их пересечения, то есть от нуля, до пересечения осей с этими пунктирными перпендикулярами тоже образовались две стрелочки: одна глядела направо, а другая вверх.
– Это я!
– сказал комплексный человечек Наклонная Стрелка.
– А это я!
– ответила Горизонтальная Стрелка.
– И я!
– отозвалась Вертикальная Стрелка.
– Понятно?
– спросил Мнимий Радиксович.
Илюша поглядел на стрелки и не совсем уверенно сказал:
– Маленькие стрелки на осях - ведь это его проекции?
Мнимая ось.
Действительная
Стрелка ОА есть геометрическая сумма стрелок ОВ и ОС, которая получается по правилу сложения сил в механике. Стрелка ОА есть (a+bi); стрелка ОВ есть а; стрелка ОС есть bi.
– Точно!
– ответил Радикс.
– А кроме того, это похоже на параллелограмм сил. Выходит, что Наклонная Стрелка есть сумма тех стрелок, которые на осях?
– Или?.
– важно спросил Мнимий.
Илюша молчал.
– Если, - сказал Мнимий, - Наклонная Стрелка является геометрической суммой осевых стрелок, то, следовательно, эти стрелки по отношению к Наклонной Стрелке суть...
– 398 -
– ...ее слагаемые, - отвечал Илюша.
– Пожалуй, лучше сказать: ее составляющие.
– Вот это да!
– отвечал Мнимий.
– Так и запишем. Итак, каждый комплексный человечек может быть рассматриваем как сумма вещественной составляющей и мнимой, что нам давно известно из формулы:
a + bi
А теперь вы видите, как это можно изобразить геометрически.
Далее мы попросим нашего друга комплексного Вектора уменьшиться так, чтобы он был ростом в одну единицу.
Вектор-Наклонная-Стрелка немедленно сделался покороче.
– Как раз!
– сказал Мнимий.
– Ровно единица!
Осевые стрелки тоже сделались соответственно короче.
– Ну-с, - сказал Мнимий Илюше, - вы ничего не замечаете?
– Не знаю, - отвечал Илюша.
Тогда Вектор-Наклонная-Стрелка быстро повернулся против часовой стрелки, и кончик его туфелек начертил круг.
– А теперь?
– спросил Мнимий.
Картина перед Илюшей несколько изменилась. Линии осей, уходившие за черту круга, исчезли. Все линии стали очень тоненькими, исключая проекцию Вектора-Наклонной-Стрелки на действительную ось и того перпендикуляра, который опускался от конца Вектора на конец этой проекции. Эти линии, наоборот, стали очень толстыми и черными.
– Не узнаете?
– спросил Мнимий.
– Узнаю как будто, - сказал Илюша.
– Это синус и косинус.
– Ага!
– вскричал Мнимий.
– Они самые. Ну-ка, прикиньте, что бы это могло значить алгебраически? Как выходит, что проекции единичного вектора суть синус и косинус?
– Потому, вероятно, - отвечал Илюша, - что синус в квадрате и косинус в квадрате, как катеты прямоугольного треугольника, равны гипотенузе в квадрате, а она у нас равна единице. Радиус ведь и есть единица. Вектор в данном случае и есть радиус.
– Ну что ж, - отвечал Мнимий, - вы правы. Но давайте разберемся в этом. Если нам дан на комплексной плоскости, которую вы видите сейчас перед собой, некий комплексный вектор, то ответьте, чем он, по-вашему, отличается от обыкновенных чисел?
– Он как сила в механике, - ответил Илюша, =- имеет направление.
– 399 -
Мнимая ось
– Мне очень нравится ваш ответ, - вежливо отвечал Мнимий, - но давайте посмотрим еще на наш чертеж и разберем все подробней. Итак, значит, длину вектора мы...