ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Бобров Сергей Павлович

х²(х - 5) -х (x - 5) + 7 (х - 5) = 0;

(х - 5) (х2 - х + 7) = 0.

Затем ты приравниваешь нулю трехчлен во второй скобке и решаешь квадратное уравнение. Так мы найдем два комплексных корня. А для общего случая есть специальная формула, открытая в шестнадцатом веке итальянским математиком Тарталья, хотя ее чаще называют формулой Кардана, по имени другого математика, современника Тартальи, который ее впервые опубликовал. История этого Тартальи весьма поучительна. В начале шестнадцатого века его родной город Брешиа взяли приступом неприятельские войска. Тарталья, шестилетний мальчик, был найден с разрубленным лицом около бездыханного тела своего отца. Из-за этой раны он так и остался заикой на всю жизнь,

а "тарталья" как раз и значит "заика" - это не имя его, а прозвище. Мать его после кончины отца осталась в такой нищете, что взяла своего сынишку из школы, как только он выучил азбуку до буквы "к". Но мальчик горячо любил науку и сам выучился грамоте, потом древним языкам, без которых в то время нельзя было учиться дальше, а затем овладел математикой. А ведь он был до того беден, что даже не мог купить себе бумаги для вычислений и проделывал их на плитах старого кладбища! Тем не менее он стал ученым и сделал немало для алгебры [28] . Вот какая замечательная настойчивость!

28

1 Об этом подробнее смотри в Схолии Девятнадцатой.

– Как наш Ломоносов!

– Правильно!
– отвечал Радикс.
– Великий был человек Ломоносов. И не зря он выразил уверенность, "что может собственных Платонов и быстрых разумом Невтонов Российская земля рождать".

– А почему он вспоминает Платона?

– Потому что Платон тоже занимался математикой и очень ценил ее. Из его сочинений извлечено теперь много данных о древней науке [29] . Полагают, например, что он дал определение понятию геометрического места. Добавлю, кстати, что кубическая парабола - немаловажная в технике кривая. Например, когда строители железных дорог рассчитывают поворот пути так, чтобы поезд на большой скорости плавно повернул по рельсам, то это закругление нужно рассчитывать именно по кубической параболе.

29

2 В книге Ван-дер-Вардена "Пробуждающаяся наука" в главе VI "Век Платона" много интересного.

– 379 -

– Мне еще хочется узнать про максимумы, - попросил Илюша.
– Это очень трудно - их определить?

– Да нет, - отвечал Радикс, - не так уж трудно. Давай возьмем пример. Допустим, имеется прямоугольник. Какие Надо взять стороны у прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей, если сумма этих двух сторон равна восемнадцати?

– Плохо я что-то понимаю эту задачу!
– заметил Илюша.

– Ты слушай, - отвечал Радикс, - и постепенно уразумеешь. Начнем вот с чего. Пусть наши стороны-множители будут а и b, а их сумма будет с, то есть

а + b = с.

Теперь возьмем квадраты их суммы и разности и вычтем один из другого:

(а + b)² = а² + 2ab + b² – (а - b)² = а²– 2ab + b² – ----------------------- (a + b)²– (a - b)² = 4ab

Так как (а+b) равно с, то мы можем написать:

с²– (a - b)² = 4ab,

или так еще:

ab - c²/4 - (а - b)² / 4

Отсюда ясно, что поскольку с есть величина постоянная, то произведение ab

изменяется только в зависимости от изменения разности (а-b), но так как квадрат этой разности с минусом, то ясно, что это произведение тем больше, чем меньше абсолютная величина разности (а-b). Следовательно, произведение двух чисел тогда достигает максимума, когда абсолютная величина их разности достигнет минимума. Тебе это ясно?

– Как будто ясно.

– Ну, поехали дальше! Давай назовем игреком искомое произведение. А части его - одна будет икс, а другая...

– А другая будет восемнадцать минус икс, - подсказал Илюша.

– Верно. Следовательно, игрек будет записан так:

y = x(18 - x)

– 380 -

Теперь возьмем разность наших множителей. Назовем ее игрек со штрихом, то есть игрек-штрих:

y' = x - (18 - x)

Так как мы хотим, чтобы этот игрек-штрих стал минимальным, то поищем, чему должен равняться икс, если игрек-штрих станет нулем. И напишем:

х - (18 - х) = 0;

х - 18 + х = 0;

2х = 18; х = 9.

Произведение достигает максимума, когда одна его часть равна девяти, а следовательно, и другая тоже равна девяти. Другими словами, максимальную площадь из всех прямоугольников с одинаковым периметром имеет квадрат. Составим табличку. В третьей графе ее стоит не самая разность, а ее абсолютная величина. Дальше девяти табличку продолжать не стоит: все будет симметрично повторяться в обратном порядке.

Из двух последних столбцов видно, что когда множители равны, то их разность, как и полагается, равна нулю, а произведение их становится наибольшим, то есть достигает максимума.

– Так, - сказал Илюша.
– Действительно, если продолжить табличку и иксу дать значение "десять", то другой множитель будет равен восьми и произведение пойдет на убыль в обратном порядке. Действительно, максимум!

– А теперь давай начертим график нашего уравнения:

у = 18х - x²

– 381 -

Ты видишь, что эта кривая (а это парабола!) как раз проходит через наивысшую точку, когда икс равен девяти. Что означает с геометрической точки зрения то обстоятельство, что для икса, равного девяти, игрек-штрих равен нулю? Дело в том, что игрек-штрих показывает, как меняется угловой коэффициент касательной к параболе. А ты, наверно, помнишь, что этот коэффициент равен тангенсу угла наклона касательной по отношению к положительному направлению оси абсцисс? Ты, наверное, помнишь и то, что когда кривая достигает максимума, то касательная, естественно, располагается...

– Параллельно оси иксов, то есть горизонтально!
– подхватил Илюша.

– Верно! Ну, а теперь скажи мне, какой она в таком случае образует угол с осью абсцисс?

– Никакого угла она не образует!

– Никакого? ..
– переспросил Радикс.
– Таким образом, если тебя кто-нибудь попросит сказать, тепло ли сегодня на улице, то ты посмотришь на градусник за окном, увидишь, нуль градусов, и скажешь, что сегодня никакой температуры не наблюдается. Так я тебя понял?

– Нет, - сказал Илюша, смутившись, - конечно, так сказать нельзя. Тут я должен сказать, что угол этот заключает в себе нуль градусов.

– Как раз!
– отвечал Радикс.
– А теперь ответь мне, чему равен тангенс нуля градусов?

– Нулю, конечно!

– Ну, так вот игрек-штрих и дает этот самый нуль. Вот как производится изыскание максимумов или минимумов! Это одна из самых важных задач в дифференциальном исчислении. Этим делом очень много и плодотворно занимались Ферма и Паскаль. Впрочем, задача, которую мы сейчас разбирали, была решена еще греческим математиком Никомахом во втором веке нашей эры.