ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Бобров Сергей Павлович

– Ты говоришь верно. Итак, если мы построим эту касательную, а через полюс системы координат - перпендикуляр к радиусу-вектору, а другой перпендикуляр к касательной через точку касания (а этот перпендикуляр, как ты знаешь, называется "нормалью") и заметим точки m и N, в которых пересекаются с первым перпендикуляром касательная и нормаль, то отрезок ОТ будет полярной подкасательной, а отрезок ON - полярной поднормалью. Многие кривые могут быть полностью охарактеризованы отношениями их важнейших характеристик, то есть: касательной, нормали, подкасательной и поднормали. Закон изменения этих характеристик заключает в себе нечто постоянное, что и является смыслом и существом рассматриваемой кривой.

– 357 -

Так, для параболы этот закон особенно прост: если изобразить параболу в обычных декартовых координатах, но положить ее "набок", так, чтобы ось абсцисс была ее осью (см. чертеж на стр. 246 в Схолии Тринадцатой), то в таком случае поднормаль параболы (длина поднормали) есть величина постоянная. Когда надо найти поднормаль у параболы, мы проводим к ней касательную в данной точке и строим нормаль в той же точке (перпендикуляр к касательной); затем из нашей точки опускаем перпендикуляр на ось параболы (а поскольку парабола у нас лежит "на боку", то ее ось совпадает с осью абсцисс; что же до вершины параболы, то мы - можем ее поместить в самое начало координат). Теперь отрезок оси абсцисс, лежащий между концом этого перпендикуляра и пересечением нормали с осью абсцисс - и есть искомая поднормаль. Для параболы поднормаль есть величина постоянная (ты на досуге сделай чертежик и посмотри!). Подкасательная есть тоже отрезок на оси абсцисс от того же конца перпендикуляра до пересечения касательной с осью абсцисс. Отсюда ясно, как много значат при изучении кривых касательная и все с ней связанное, ибо через нее мы получаем для кривых очень важные, точно определяющие их характеристики. Архимед, анализируя свою спираль, нашел и доказал, что и для этой кривой полярная поднормаль постоянна. Вот это было одно из замечательных открытий Архимеда. Ясно?

– Что-то я плохо понимаю, как это "постоянная"? Всегда одна и та же?

– Именно так: она всегда одна и та же и равна постоянной величине, входящей в полярное уравнение кривой. Зная уравнение кривой, мы уже знаем, чему равна длина поднормали. Слушай дальше и ты поймешь, в чем тут дело. Это особое свойство данной связи между радиусом-вектором r и полярным углом φ: если мы будем искать методами высшего анализа кривую, у которой поднормаль в полярных координатах постоянна, мы неминуемо придем к Архимедовой спирали. Это се важное свойство подобно свойствам, определяющим "геометрическое место".

– И так будет в любой точке спирали?

– Разумеется! В этом-то и вся сила, что в любой. Это основной закон Архимедовой спирали. Напишем уравнение спирали в полярных координатах так, как мы писали в Схолии Двенадцатой уравнение кривых в декартовых координатах. Мы уже знаем, что длина радиуса-вектора в данном случае прямо пропорциональна углу, на который повернулся этот вектор.

– 358 -

Разумеется, когда вектор пройдет целый круг, то следующий круг мы начнем считать от 360°, это будет 361° (или в радианах 2π, а затем 2π + π/180 и так далее). Назовем радиус-вектор буквой r, а угол буквой φ и напишем уравнение:

r = αφ.

Это и будет самое простое уравнение спирали в полярных координатах. Чем больше угол, тем длиннее и радиус-вектор.

Пропорциональность может быть различной, поэтому в уравнении имеется коэффициент (или параметр) α.

– А что такое параметр?

– Параметр представляет собой определяющий коэффициент, характеризующий кривую. Так, например, угловой коэффициент прямой есть ее важнейший параметр.

В данном случае для нашей спирали а и есть постоянная поднормаль (или субнормаль) Архимедовой спирали. Чем он больше, тем шире и разворот спирали. Чем он меньше, тем ближе один к другому ложатся витки спирали. Он

либо раздвигает, либо сдвигает спираль. Например, когда ты заводишь часы с пружиной, то она сжимается. Полагая, что пружина в плане близка к Архимедовой спирали, ты, заводя часы, уменьшаешь ее параметр а.

– Как будто что-то я начинаю соображать, - сказал Илюша.
– Это немного похоже на то, если изменять угол конуса при вершине. Конус, конечно, станет другой.

– В этом роде. А теперь мы уже подходим к концу нашего рассказа. После того как Архимед установил это замечательное свойство спирали, он нашел еще и выражение ее полярной подкасательной (субтангенса). Если уравнение спирали таково, как мы написали, то в современных обозначениях полярная подкасательная спирали будет равна rφ. Теперь если у нас некоторый угол φ₁ будет равен 2π...

– То есть если радиус-вектор обойдет целый круг?

– Именно! Тогда соответствующий этому углу радиус-вектор по нашему уравнению будет равен: r₁ = 2πα, а его подкасательная по ее уравнению, которое мы только что записали, будет:

4π²а = 2πr₁,

то есть равна длине окружности, радиусом которой является радиус-вектор в конце первого витка спирали. Вот и получается при помощи геометрического построения совершенно точное определение длины окружности. Об этом и говорил византиец Евтокий Аскалонский.

– 359 -

Средневековые математики не разобрались в том удивительном построении, которое мы сейчас вкратце рассмотрели. То, что писал тонкий комментатор Архимеда - Евтокий об этом решении, вовсе их сбило с толку: начали даже поговаривать, что "по-видимому" сама геометрия - наука "неточная"! Их путало еще и то, что им уже было известно о существовании целого ряда приближений для определения числа π: в библии дается число 3,0; у Витрувия, римского архитектора, - 3,125 (вавилонское приближение); у самого Архимеда - 3,14... Которое из решений правильно? А спирали Архимеда вовсе не давали численного решения, что еще больше их смущало.

– Как интересно!
– воскликнул Илюша.
– Это напоминает случай с диагональю квадрата: построить - одна минута, а вычислить невозможно. Только со спиралью гораздо сложнее...

– Это верно. Но надо еще принять во внимание, что это не простое геометрическое построение, а такое, в которое входит "механическая кривая", для которой движение есть очень важный элемент. Многие древнегреческие математики были из-за этого не совсем довольны построением Архимеда, хотя это самый настоящий шедевр математической изобретательности и остроумия. Однако разобрать весь ход рассуждений Архимеда, понять все его доказательства - дело не такое простое, как мой коротенький рассказ. Уникурсал Уникурсалыч тебе объяснил, как ты должен поступить. Ты понял?

– Почти... Я буду стараться... [26]

– Стоит постараться, уверяю тебя. Это замечательное сочинение Архимеда оказало огромную помощь европейским ученым, когда они начали строить высший математический анализ.

– А почему ты вспоминал про веретена и про центры тяжести?

– Центры тяжести различных тел тоже вычисляются путем интегрирования. Что же касается веретена, то это веретено Торичелли...

– Это тот самый, чья "торичеллиева пустота"?

26

1 Все работы Архимеда переведены на русский язык. Если ты достанешь книгу "Сочинения Архимеда", М., Фпзматгиз, 1962, то там на стр. 227 ты найдешь сочинение "О спиралях". В книге имеются подробные комментарии и объяснения. Об Евтокий можно прочесть на стр. 528.