Введение в логику и научный метод

Коэн Моррис Р.

В отношении дедуктивных систем следует сделать еще одно замечание. Любая система по необходимости является абстрактной: она представляет структуру некоторых отдельных отношений и поэтому в ней не должны учитываться какие-либо другие отношения. Поэтому системы, изучаемые в физике, не включают в себя системы, исследуемые в биологии. Более того, как мы уже могли убедиться, система является дедуктивной не в силу какого-либо конкретного значения ее терминов, а в силу универсальных отношений между ними. Специфическое качество вещей, на которые могут указывать термины, само по себе не играет никакой роли в системе. Так, в теории теплоты не учитываются уникальные чувственные качества, демонстрируемые явлениями теплоты. Дедуктивная система, таким образом, является абстрактной вдвойне: она абстрагируется от специфических качеств предметной области, а также выбирает одни отношения и пренебрегает другими. Из этого следует,

что различных систем может быть очень много, и каждая из них может быть исследована отдельно от остальных. Не исключено, что такая множественность систем может конституировать множество подсистем, относящихся к одной всеобъемлющей системе. Однако у нас недостаточно оснований, чтобы считать, что такая всеобъемлющая система на самом деле имеет место. В любом случае, для адекватного исследования любой из менее содержательных систем знания такой всеобъемлющей системы не требуется. Выходит, что человеческое знание о естественном мире возможно только потому, что естественный мир можно исследовать с помощью множества относительно автономных систем.

§ 4. Эквивалентность наборов аксиом

Мы уже сказали, что в любой дедуктивной системе некоторые суждения являются недоказуемыми в этой системе и что некоторые термины являются неопределимыми. Также мы сказали, что суждение, являющееся аксиомой в одной системе, может быть теоремой в другой. Теперь мы хотим проиллюстрировать сказанное.

Рассмотрим нижеследующие допущения относительно класса S ; его элементы: A, B, C и т. д., его l-классы (или l-подклассы ): a, b, c и т. д.

Аксиома 1'''. Если a и b являются различными l-классами S , то существует по меньшей мере один элемент S , принадлежащий a и b .

Аксиома 2'''. Если a и b являются различными l-классами S , то существует не более одного элемента S , принадлежащего а и b .

Аксиома 3'''. Любые два элемента S являются элементами некоторого одного l-класса S .

Аксиома 4'''. Существует по меньшей мере один элемент S .

Аксиома 5'''. Каждый элемент S принадлежит по меньшей мере к трем l-классам S .

Аксиома 6'''. Не существует элемента S , принадлежащего всем l-классам S .

Аксиома 7'''. Не существует элемента S , который принадлежал бы более чем к трем l-классам S .

Ни одна из этих аксиом не тождественна какой-либо аксиоме из предшествующего набора аксиом, хотя некоторые новые аксиомы тождественны (не считая их вербальной формы) некоторым теоремам, доказанным нами ранее. Так, аксиома 3''' тождественна теореме I, а аксиома 4'''– части теоремы III. Тем не менее, предыдущий набор аксиом и данный набор аксиом характеризуют одну и ту же систему отношений. Эти два множества являются эквивалентными. Два набора постулатов эквивалентны, если, и только если, каждый постулат из первого набора является либо постулатом, либо теоремой из второго набора и каждый постулат из второго набора является либо постулатом, либо теоремой из первого. Эквивалентность двух вышеприведенных наборов постулатов может быть показана посредством выведения из первого набора тех постулатов второго набора, которые еще не были доказаны, и выведения из второго набора всех постулатов первого. Так, аксиома 1'следует из аксиомы 3''' аксиома 5'следует из аксиом 1'''—5''' и т. д.

Читателю важно усвоить то, что не существует недоказуемых по своей природе суждений. Неспособность осознать данное обстоятельство является причиной убежденности в существовании «самоочевидно истинных» суждений. Несложно стать

жертвой ошибочного предубеждения о том, что суждение является недоказуемым, если его нельзя доказать на одном наборе допущений. Более того, тот факт, что две системы могут быть эквивалентными и при этом не быть тождественными, проливает свет на вопрос о логическом предшествовании. В одной системе некоторое суждение логически предшествует другому, если требуется, чтобы первое суждение было посылкой или частью посылки для получения второго. Однако в другой системе отношение логического предшествования между двумя суждениями может быть обратным.

Сказанное относительно недоказанных суждений в равной степени применимо и к терминам, которые не определены. Из курса школьной геометрии читатель помнит, что точки рассматривались как фундаментальные и неопределяемые понятия, в терминах которых определялись линии и окружности. При попытке дать определение какому-либо термину становится ясно, что должны быть и неопределяемые термины. Термин «равные расстояния» можно определить следующим образом: расстояние между точками А и Б на прямой равно расстоянию между Си Д если отрезок АВ может быть перемещен как твердое тело, так чтобы он совпал с отрезком CD. Однако очевидно, что фраза «перемещение отрезка как твердого тела» не может быть определена с помощью термина «равные расстояния», ибо это приведет к кругу в определении. Тем не менее, ошибочно считать, что существуют недоказуемые по своей природе термины. Недоказуемость и неопределимость являются таковыми относительно той или иной системы. Вовсе не обязательно рассматривать точки как недоказуемые, поскольку в качестве недоказуемых мы можем выбрать и другие термины, например линии, и определять точки уже на их основе. Так, для евклидовой геометрии были выработаны различные аксиоматические основания. Гильберт обнаружил набор из двадцати одного допущения и пяти простых или неопределяемых идей, на основе которых выводимы все теоремы геометрии. Веблен, с другой стороны, открыл двенадцать допущений, требующих лишь двух неопределяемых терминов, для решения той же самой задачи. Мы не можем далее исследовать эту тему и отметим только то, что число неопределяемых терминов тесно связано с числом и характером недоказуемых суждений.

§ 5. Независимость и непротиворечивость аксиом

Теперь нам необходимо рассмотреть вопросы, связанные с набором аксиом. Каковы существенные и желательные свойства, которыми должен обладать набор аксиом?

1. Аксиомы исследуются с учетом имплицируемых ими суждений. Следовательно, продуктивность является одним из свойств, которыми должны обладать аксиомы. Это означает, что аксиомы должны имплицировать много теорем. Однако не существует критерия, согласно которому набор допущений должен порождать всеобъемлющий набор теорем. Вероятнее всего продуктивность не является характеристикой, внутренне присущей набору аксиом. Однако она отражает способность мыслящего человека обнаруживать их импликации. Более того, важность набора допущений пропорциональна нашей способности отыскивать его интерпретации в исследованиях, проводимых в естественных науках или других областях математики. Ниже мы еще вернемся к этой теме.

2. Весьма желательным и исторически значимым свойством аксиом является их независимость. Набор допущений является независимым, если невозможно вывести какую-либо из аксиом из других. Если набор аксиом является независимым, то в данной системе возможно провести четкое различие между допущениями и теоремами. И до тех пор, пока мы не знаем, что имеем дело с независимыми суждениями, мы не способны сказать, имеем ли мы дело с различными и альтернативными возможностями или же просто с одной и той же возможностью, выраженной в другой форме.

Вопрос о том, являются ли аксиомы и постулаты Евклида независимыми, представляет большой исторический интерес. Многие величайшие открытия в математике, физике и философии были обусловлены многочисленными попытками дать ответ на этот вопрос. Как мы уже сказали в предыдущем параграфе, математики на протяжении более чем двух тысяч лет старались вывести параллельные постулаты из других допущений Евклида. Основой для этих попыток была убежденность в том, что все его допущения, за исключением допущения о параллельных прямых, были «самоочевидно истинными». Они считали недостатком то, что несамоочевидное суждение принималось в качестве аксиомы. Им не удалось вывести пятый постулат Евклида из других его постулатов без введения дополнительных допущений, не включенных в изначальный набор аксиом Евклида. Однако что же было доказано этой неудачей? Разве то, что пятый постулат не может быть выведен из остальных? Разумеется, нет. Однако факт этой неудачи заставил исследователей задуматься о ее причинах. Это привело к тому, что некоторые математики стали искать доказательство тому, что пятый постулат независим от остальных постулатов.