Введение в логику и научный метод

Коэн Моррис Р.

Данное заключение, представляющееся столь очевидным, если его сформулировать, было достигнуто лишь в силу огромных усилий современных философов и математиков. Источником многих заблуждений здесь является частое использование одного и того же символа для обозначения двух существенно разных идей. Так, кардинальное число 2 и дробь 2Л зачастую обозначаются одним символом «2». При этом они обозначают радикально разные идеи. Однако данная опасность, исходящая из математической системы символов, несомненно, перевешивается теми великими преимуществами, которые она предлагает. Она позволяет нам кратко выражать структуру математических суждений и тем самым позволяет нам отмечать точные аналогии, или изоморфизмы, в контекстах, отличающихся друг от друга во всех остальных отношениях.

Глава VIII. Вероятностный вывод 

§ 1. Природа вероятностного вывода

В

обыденном словоупотреблении термин «вероятность» используется весьма свободно, тогда как в логической теории правильный анализ природы вероятностного вывода – это одна из наиболее обсуждаемых тем. Тем не менее, мы строим планы относительно рождения детей, свадеб, смерти, праздников, коммерческих инициатив, дружбы и образования, опираясь на рациональные основания, весомость которых может рассматриваться как вероятностная, но не окончательная. «Вероятность», как замечал епископ Батлер, «является подлинным проводником по жизни». Поэтому данный вопрос следует рассмотреть более детально. Читателю будет легче, если он вспомнит определение вероятностного (правдоподобного) умозаключения, приведенного в вводной главе. Это определение может служить нитью Ариадны в лабиринте долгих обсуждений. Мы сказали, что вывод (или умозаключение) является вероятностным, если он принадлежит классу аргументов таких, в которых заключения являются истинными с определенной относительной частотой при истинности посылок.

Нижеследующее происшествие случилось в повести Вольтера «Задиг»:

Однажды, когда Задиг прогуливался по опушке рощицы, к нему подбежал евнух царицы, которого сопровождали еще несколько дворцовых служителей. Все они, видимо, находились в сильной тревоге и метались взад и вперед, словно искали потерянную ими драгоценную вещь.

– Молодой человек, – сказал ему первый евнух, – не видели ли вы кобеля царицы?

– То есть суку, а не кобеля, – скромно отвечал Задиг.

– Вы правы, – подтвердил первый евнух.

– Это маленькая болонка, – прибавил Задиг, – она недавно ощенилась, хромает на левую переднюю лапу, и у нее очень длинные уши.

– Значит, вы видели ее? – спросил запыхавшийся первый евнух.

– Нет, – отвечал Задиг, – я никогда не видел ее и даже не знал, что у царицы есть собака.

Как раз в это время, по обычному капризу судьбы, лучшая лошадь царских конюшен вырвалась из рук конюха на лугах Вавилона. Егермейстер и другие придворные гнались за ней с не меньшим волнением, чем первый евнух за собакой. Обратившись к Задигу, егермейстер спросил, не видел ли он царского коня.

– Это конь, – отвечал Задиг, – у которого превосходнейший галоп; он пяти футов ростом, копыта у него очень маленькие, хвост трех с половиной футов длины, бляхи на его удилах из золота в двадцать три карата, подковы из серебра в одиннадцать денье.

– Куда он поскакал? По какой дороге? – спросил егермейстер.

– Я его не видел, – отвечал Задиг, – и даже никогда не слыхал о нем.

Егермейстер и первый евнух, убежденные, что Задиг украл и лошадь царя, и собаку царицы, притащили его в собрание великого Дестерхама, где присудили к наказанию кнутом и к пожизненной ссылке в Сибирь. Едва этот приговор был вынесен, как нашлись и собака, и лошадь. Судьи были поставлены перед печальной необходимостью пересмотреть приговор; но они присудили Задига к уплате четырехсот унций золота за то, что он сказал, будто не видел того, что на самом деле видел.

Задигу пришлось сперва уплатить штраф, а потом ему уже позволили оправдаться перед советом великого Дестерхама. И он сказал следующее: – Звезды правосудия, бездны познания, зерцала истины, вы, имеющие тяжесть свинца, твердость железа, блеск алмаза и большое сходство с золотом! Так как мне дозволено говорить перед этим высочайшим собранием, я клянусь вам Оромаздом, что никогда не видел ни почтенной собаки царицы, ни священного коня царя царей. Все, что со мной случилось. Я прогуливался по опушке той рощицы, где встретил потом достопочтенного евнуха и прославленного егермейстера. Я увидел на песке следы животного и легко распознал, что их оставила маленькая собачка. По едва приметным длинным бороздкам на песке между следами лап я определил, что это сука, у которой соски свисают до земли, из чего следует, что она недавно ощенилась. Следы, бороздившие песок по бокам от передних лап, говорили о том, что у нее очень длинные уши, а так как я заметил, что след одной лапы везде менее глубок, чем следы остальных трех, то догадался, что собака нашей августейшей государыни немного хромает, если я смею так выразиться. Что же касается коня царя царей, то знайте, что, прогуливаясь по дорогам этой рощи, я заметил следы лошадиных подков, которые все были на равном расстоянии друг от друга. Вот, подумал я, лошадь, у которой превосходный галоп. Пыль с деревьев вдоль узкой дороги, шириною не более семи футов, была немного сбита справа и слева, в трех с половиной футах от середины дороги. У этой лошади, подумал я, хвост трех с половиною

футов длиной: в своем движении направо и налево он смел эту пыль. Я увидел под деревьями, образующими свод в пять футов высоты, листья, только что опавшие с ветвей, из чего я заключил, что лошадь касалась их и, следовательно, была пяти футов ростом. Я исследовал камень кремневой породы, о который она потерлась удилами, и на этом основании определил, что бляхи на удилах были из золота в двадцать три карата достоинством. Наконец, по отпечаткам подков, оставленным на камнях другой породы, я пришел к заключению, что ее подковы из серебра достоинством в одиннадцать денье [47] .

Данная миниатюрная детективная история хорошо представляет тот способ вывода, который используется в большом количестве практических вопросов и во многих областях научного исследования. Почему мы считаем, что заключения Задига разумно и хорошо обоснованы, хотя их основания не являются абсолютно исчерпывающими?

Аргумент о том, что собачка царицы пробежала мимо, можно сформулировать следующим образом:

1. Данные следы на песке имеют определенную форму. (Это истинное суждение, в котором утверждается наблюдавшийся факт.)

2. Однако если бы мимо проходила маленькая собачка, то ее следы на песке были бы следами именно такой формы.

(Данное суждение выражает общее правило, которое считается истинным.)

3. Следовательно, мимо проходила маленькая собачка. (Данное суждение является выведенным заключением.)

Данный аргумент формально не является обоснованным. Он был бы обоснованным, если бы мы знали не только истинность суждения 2, но и истинность суждения 2\': «если следы данной формы имеются на песке, то их оставила маленькая собачка». (Читатель может самостоятельно заменить в приведенном аргументе суждение 2 на суждение 2\' и убедиться в обоснованности получившегося умозаключения.) Суждение 2\' является конверсным суждением относительно суждения 2. Однако даже если мы знаем, что суждение 2 является истинным, мы не знаем истинностного значения конверсивного ему суждения. Мы, на самом деле, можем знать, что, несмотря на то что маленькие собачки оставляют следы такой формы, схожие с ними следы могли быть получены и в результате иных обстоятельств. Поэтому очевидно, что заключение Задига не следовало из посылок с необходимостью.

Тем не менее, его заключение является крайне правдоподобным или вероятным относительно посылок. Дело в том, что вывод, который он сделал от наблюдавшихся фактов к заключению посредством общего правила, относится к классу умозаключений, в которых количество раз, когда истинные суждения выводятся из истинных посылок, является очень большим относительно общего числа проведения подобных умозаключений. Иными словами, Задиг однажды может ошибиться, умозаключая от суждений, в которых утверждается наличие соответствующих следов на песке, к суждению «здесь проходила маленькая собачка». Однако если ему и другим наблюдателям пришлось бы сделать очень большое количество подобных умозаключений, то правыми они оказывались бы гораздо чаще, чем неправыми.

На данном этапе мы можем изложить суть дела несколько иначе. По той или иной причине Задиг изучает следы на песке. Он способен установить истинность суждения «данные следы на песке имеют определенную форму». Однако у него также есть некоторые основания и для того, чтобы утверждать и следующее суждение: «следы на песке данной формы оставляют (в пропорции r к общему числу появления таких следов) маленькие собачки». Несмотря на то что из данных суждений ничего не следует с необходимостью, Задиг может заключить с вероятностью: «маленькая собачка проходила мимо». Данное заключение является вероятным относительно оснований, поскольку данное заключение оказывается истинным при истинности посылок в пропорции r к общему числу осуществления подобных умозаключений. В любом из случаев осуществления данного вывода заключение (выводимый факт) может оказаться ложным, даже если посылка является истинной. Однако если последовательно проводить подобные умозаключения, то можно будет получать истинные заключения с относительной частотой r , которую иногда можно высчитать. Нумерическое значение r можно получить не всегда, и в таких случаях нам приходится довольствоваться только приблизительными догадками относительно величины r . Однако хотя основания для нашей приблизительной оценки величины r могут быть ненадежными, значение нашего суждения относительно вероятности ясно. Когда r равняется нулю, аргумент ничего не стоит; когда r равняется 1, умозаключение является обоснованным исчерпывающим образом; когда r равняется 1/2