...И мир загадочный за занавесом цифр. Цифровая связь
Шрифт:
Из примеров ясно, что майя изобрели систему счисления с основанием 20. Основание — это количество цифр, лежащее в основе той или иной системы счисления. Основание 20 выбрано, очевидно, по числу пальцев на руках и ногах человека. Кроме того, в ней явно просматриваются следы и более древней пятиричной системы (счет пятерками, видимо, по числу пальцев на одной руке).
О математических знаниях майя сохранились различные косвенные свидетельства. Считая гражданский год равным 365 дням, майя исправляли разность между ним и астрономическим годом в 365,242 2 дня подобно тому, как делаем это мы, вводя високосный год. Таким образом, год майя был всего на две десятитысячные доли суток короче астрономического года.
Точность поистине поразительная!
Просуществовав
Удивительна история цифр! Древние греки, судя по всему, были хорошо знакомы с египетскими и вавилонскими цифрами (вспомните хотя бы великие военные походы Александра Македонского), и тем не менее они ввели в обиход свои цифры. Около 500 г. до н. э. в Милете (греческой малоазийской колонии Ионии) цифры стали обозначать буквами, т. е. каждая буква греческого алфавита была одновременно и цифрой. А чтобы отличить цифры от букв, они снабжались штрихом. Такие обозначения получили все числа от 1 до 10, полные десятки и полные сотни. Для обозначения полных тысяч букв алфавита не хватало, поэтому снова использовались его начальные буквы, но теперь перед ними ставилась запятая.
Были ли удобными такие цифры? Для быстрого действия над ними нужно было помнить наизусть не только таблицы умножения, но и таблицы сложения. Правда, такие таблицы имелись и в готовом виде. Некоторые ученые, занимавшиеся историей математики, считали греческое обозначение цифр очень неудачным. Другие же были убеждены, что подобное обозначение имеет определенные преимущества, которые мы в силу привычки не хотим замечать.
Любопытен и такой факт. С греческими цифрами-буквами были, в свою очередь, хорошо знакомы древние римляне. Однако они (история повторяется!) не переняли у греков обозначение цифр, а создали свою систему нумерации. Нам кажется, что у древних народов уважение к опыту чужеземцев прекрасно уживалось с духом первосоздателей. Ну а система нумерации римлян хорошо знакома сегодня каждому школьнику…
…На одной из людных улиц древнего Рима из-за стен здания с изящными скульптурами у входа до прохожих доносились голоса мальчиков, заучивающих таблицу умножения. Их громкое скандирование "бис бина кватуор" (2x2=4) нередко сопровождалось свистом розг и воплями наказуемого. Трудности юных римлян в постижении азов математики станут понятны, если попытаться перемножить, например, числа 444 и 36, записанные римскими цифрами (CDXLIV и XXXVI). Им не по завидуешь!
Происхождение римских цифр не связано с алфавитом, как это имело место у греков. Цифра 1 (единица) первоначально была вертикальной палочкой; цифра X (десять) — перечеркнутой косо вертикальной палочкой (перечеркивание некоторого числа палочек означало когда-то удесятерение числа): цифра V (пять) — половиной косого креста, т. е. знака для десяти. Обозначения С (сто) и М (тысяча) появились позднее и связаны с начальными буквами латинских названий "centum" (100) и "mille" (1 000). Еще позднее возникли промежуточные знаки L (пятьдесят) и D (пятьсот). Считают, что первый из них первоначально был половиной знака С, а второй — половиной более древнего знака для тысячи.
Мы уже упоминали о том, что с числами, записанными по римской системе, трудно производить арифметические вычисления. Сами римляне использовали для этих целей специальную счетную доску — абак (по-древнееврейски "пыль"), покрытую пылью или песком. На доске проводили черточки, разделяющие ее на колонки, и клали камешки — "калькули" (откуда и произошло слово "калькуляция"). Впоследствии появился более совершенный абак с жетонами вместо камешков и рейками, вдоль которых можно было эти жетоны передвигать. Столь удобный инструмент у римлян переняли многие народы. Мы и сейчас иногда пользуемся счетами римского образца.
Римские цифры широко распространились по свету: в XV в. уже почти вся Западная Европа считала на счетной доске и писала числа римскими цифрами. В XVIII в. их можно было встретить во многих школьных учебниках. Да и в нашей книге вам иногда попадаются римские цифры (в обозначении веков, например).
Кто знает, возможно, мы и до настоящего времени пользовались бы римскими цифрами, если бы не появились… арабские.
История их появления уходит далеко в глубь веков и до конца не ясна. Победное же шествие этих цифр по миру поистине впечатляюще.
В 940 г. во французском городе Оверни родился простолюдин по фамилии Герберт. Будучи очень способным, он получает духовное образование и вскоре достигает высших церковных должностей, а в 59 лет становится папой римским — Сильвестром II. Несмотря на такой высокий церковный сан, Герберт был не чужд светских интересов, увлекался наукой (математикой), любил путешествовать. Во время одного из своих путешествий в Испанию он познакомился с непривычными для европейцев цифрами. Их называли цифрами гобар. Герберта настолько поразили простота и удобство вычислений с помощью гобар, что он изобрел новый тип счетной доски, где на жетонах были изображены новые цифры. До конца дней, а умер он в 1003 г., Герберт через своих многочисленных учеников и последователей, а также, используя свое влияние как папы римского, настойчиво пропагандировал употребление новой счетной доски и новых цифр. В 980–982 гг. он даже написал книгу, которая позднее (в XII в.) была переведена на латинский язык.
Вы, наверно, уже догадались, что речь идет о цифрах, которые мы сегодня называем арабскими. Дело в том, что еще в VIII в. Испания была захвачена западными арабами: они-то и ввели в употребление цифры гобар. Откуда произошло само название "гобар", остается до сих пор неясным. Иногда его связывают с арабским словом ghubar (пыль) и называют эти цифры "пылевыми".
Однако некоторые западные ученые, изучавшие историю математики (например, голландец Ван дер Варден), выдвинули оригинальную гипотезу, согласно которой арабские цифры изобрели… не арабы. Еще в 662 г. сирийский епископ Северус Себокхт, глава Ученой академии на Евфрате, упоминал об "искусном методе индийского счисления при помощи 9 знаков, для восхваления которого нельзя найти слов". С индийскими цифрами был знаком и известный среднеазиатский математик Мухаммед бен Муса аль-Хорезми (т. е. Мухаммед, сын Мусы из Хорезма), живший во второй половине VIII — первой половине IX вв. Аль-Хорезми написал книгу об индийском счете "Арифметика в индийской нумерации". Западные арабы, владевшие большей частью прежнего культурного мира, собирали культурное наследие всех покоренных ими стран, переводили на арабский язык труды ученых Европы и Азии. Были они знакомы и с индийскими цифрами, главным образом через труды среднеазиатских ученых, и в том числе аль-Хорезми. Читателю, вероятно, известно, что от имени аль-Хорезми произошло слово "алгоритм" (от латинского algorithmi).
В Европе первыми оценили преимущество арабских (или индийских?) цифр итальянские купцы. В 1202 г. итальянский купец из Пизы Леонардо, по прозвищу Фибоначчи, впоследствии известный итальянский математик Леонардо Пизанский, составил огромный трактат, излагающий индо-арабскую арифметику, в преимуществе которой он убедился во время коммерческих поездок в арабские страны. Вскоре почти все крупные торговые дома Италии стали употреблять арабские цифры в счетоводстве.
Однако в 1299 г. власти города Флоренция ввели указ, запрещающий их употреблять, объясняя это тем, что арабские цифры легко подделать: из 0 просто сделать 6 или 9. (Как будто этого нельзя сделать и с римскими цифрами.) Изворотливые купцы нашли выход из положения: бухгалтерские книги велись с использованием римских цифр, а черновые расчеты — арабских цифр. Поистине изобретательность деловых людей не знает границ.
Еще не раз власти пытались наложить запрет на арабские цифры. Так было, например, и в 1494 г., когда бургомистр города Франкфурт призывал конторщиков отказаться от их применения. Однако победа арабским цифрам была уже обеспечена: появляются многочисленные учебники и руководства по новой арифметике; торговые города заводят своих учителей, которые обучают работников торговых предприятии индо-арабской арифметике.
В русских городах в начале XVIII в. появились так называемые "цифирные" школы, где обучали арабскому счету. В 1703 г. талантливый педагог первой в России математико-навигационной школы Л.Ф. Магницкий издал свой знаменитый учебник "Арифметика", где использовались арабские цифры.