А ну-ка, догадайся!
Шрифт:
Хотя в конечном счете все сводится к вероятности только одного типа, обычно принято различать вероятности трех основных типов.
1. Классическая, или априорная, вероятность.Все исходы испытания, или опыта, предполагаются равновероятными. Если испытание имеет nравновероятных исходов и нас интересует вероятность наступления kиз них, образующих некоторое подмножество, то эта вероятность равна дроби k/n. Например, если вы бросаете игральную кость, изготовленную «честно», из однородного материала, то любая из шести граней выпадает равновероятно. С какой вероятностью выпадает четное число очков? Из 6 равновероятных исходов бросания игральной кости (выпадение 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков) четное число выпадает в 3 случаях (когда
Иначе говоря, при одном бросании шансов за то, что выпадет четное число очков, ровно столько же, сколько за то, что выпадет нечетное число очков. Это честная игра (шансы на выигрыш и проигрыш равны).
2. Частота, или статистическая вероятность.Ее вводят, когда события априори неравновероятны. Лучшее, что можно сделать в таких случаях, — это многократно повторить или пронаблюдать интересующее нас событие и установить частоту различных исходов испытания. Например, если игральная кость каким-то образом утяжелена, но внешне не отличается от однородной, то вы бросаете ее несколько сот раз и по исходам бросаний заключаете, что вероятность выпадения, скажем, 6 очков составляет 7/10 вместо 1/6 для «честной» игральной кости.
3. Индуктивная вероятность.Под индуктивной вероятностью понимают меру правдоподобия, приписываемую ученым какой-нибудь закономерности или теории. Недостаточное знание явлений природы исключает введение классической вероятности, а эксперименты или наблюдения слишком редки и неопределенны для того, чтобы мы могли воспользоваться точными частотными оценками. Приведем пример индуктивной вероятности. Некий ученый, проанализировав все известные данные, пришел к заключению, что черные дыры скорее всего не существуют. Такого рода вероятностные оценки, неточные в силу самой своей природы, непрерывно изменяются по мере появления новых данных, подтверждающих или опровергающих исходную гипотезу.
Два последних парадокса в этой и в следующей главах затрагивают понятие индуктивной вероятности. Если вас заинтересуют парадоксы такого рода, то, прочитав о них побольше, вы погрузитесь в глубокие воды современной теории вероятностей и философии науки.
У Джонсов пятеро детей — все девочки.
М-с Джонс.Надеюсь, наш следующий ребенок не будет девочкой.
М-р Джонс.Дорогая, после того как у нас родилось пять девочек, наш следующий ребенок непременно будет мальчиком. Верно ли это?
Многие игроки думают, будто в рулетку можно выиграть, если, дождавшись длинной серии выпадений на красное, поставить на черное. Эффективна ли такая система?
Эдгар Аллан По считал, что если два очка выпадают два раза подряд, то при следующем бросании кости вероятность того, что выпадет два очка, меньше 1/6. Верно ли это?
Ответив утвердительно на любой из трех приведенных выше вопросов, вы попадете в ловушку, известную под названием «ошибка игрока». В каждом из трех случаев следующее
Вероятность того, что у Джонсов шестой ребенок будет девочкой, такая же, как вероятность того, что первый ребенок у них девочка. Вероятность того, что при игре в рулетку следующее число будет красным, такая же, как вероятность того, что красным было любое из предыдущих чисел. Вероятность выпадения двух очков при очередном бросании игральной кости всегда равна 1/6.
Действительно, представьте себе, что мистер Джонс бросает вполне доброкачественную симметричную монету и она пять раз подряд падает вверх гербом. Шансов за то, что при очередном бросании она выпадет вверх гербом, столько же, сколько и прежде: пятьдесят на пятьдесят. Монета «не помнит», какой стороной она падала вверх в предыдущих бросаниях.
Если наступление события Акаким-то образом влияет на наступление события В, то говорят, что событие Взависит от события А. Например, вероятность того, что, выходя завтра из дому, вы захватите с собой зонт, зависит от того, велика ли вероятность дождя назавтра (точнее, от того, как вы оцениваете эту вероятность). События, о которых обычно говорят, что они «не имеют ни малейшего отношения друг к другу», называются независимыми. Вероятность того, что, выходя завтра из дому, вы захватите с собой зонт, никак не зависит от вероятности того, что президенту США на завтрак подадут яйца всмятку.
Большинство людей с трудом верят, что «родственные узы», незримо связывающие, по их мнению, однотипные события, никак не сказываются на вероятности отдельного независимого события. Например, во время первой мировой войны солдаты на фронте во время артиллерийского обстрела предпочитали искать укрытие в свежих воронках от снарядов. Прятаться в старых воронках они считали рискованным, так как в них при очередном обстреле скорее может угодить новый снаряд. В свежей воронке солдаты какое-то время чувствовали себя в безопасности, так как считали совершенно невероятным, чтобы два снаряда попали подряд в одно и то же место.
Много лет назад рассказывали анекдот об одном человеке, которому приходилось много летать на самолетах. Панически боясь, как бы кто-нибудь из пассажиров не пронес тайком на борт самолета бомбу, этот человек имел обыкновение возить с собой в портфеле свою «собственную» бомбу, правда незаряженную. Вероятность того, что кто-то из пассажиров пронесет на борт одну бомбу, этот человек считал малой, а вероятность того, что на борту самолета одновременно находятся две бомбы, — ничтожно малой по сравнению с первой. Разумеется, вольно ему было возить с собой «собственную» бомбу: вероятность того, что кто-то другой пронесет бомбу на борт самолета, от этого ничуть не менялась, подобно тому как не меняется исход бросания одной монеты от того, что бросают другую монету.
При игре в рулетку наибольшей популярностью пользуется «система», известная под названием «система Д'Аламбера». В основе ее лежит все та же «ошибка игрока»: те, кто придерживается ее, совершенно упускают из виду, что независимые события независимы. Следуя системе Д'Аламбера, игрок делает ставку на красное или черное (или заключает пари с равными шансами на выигрыш и проигрыш), увеличивая ставку после каждого проигрыша и уменьшая после каждого выигрыша. Сторонники системы Д'Аламбера явно полагают, будто маленький шарик, брошенный на вращающееся колесо рулетки, каким-то образом «помнит», что помог им выиграть, и при следующем бросании менее охотно соглашается помочь им, уменьшая шансы на выигрыш. Если шарик приводит их к проигрышу, то из «сочувствия» при следующем бросании он охотнее идет на помощь проигравшему, повышая шансы на выигрыш.