А ну-ка, догадайся!
Шрифт:
В том, что приведенное выше рассуждение неверно, мы легко убедимся, выписав все возможные исходы бросания 3 монет ( О— «орел», Р— решка»):
Как вы видите, 3 «орла» или 3 «решки» выпадают только в 2 случаях из 8. Следовательно, правильно подсчитанная вероятность этого события равна 2/8 = 1/4.
Рассмотрим еще один парадокс, также связанный с тем, что при подсчете вероятности принимаются во внимание не все возможные исходы. У мальчика 1 шарик, у девочки 2 шарика. Они катают шарики по направлению к вбитому в землю колышку. Выигрывает
Предполагается, что мальчик и девочка одинаково искусны в игре, а расстояния измеряются достаточно точно, и ничьих быть не может. С какой вероятностью выиграет девочка?
Рассуждение 1.Девочка катает 2 шарика, мальчик — только 1 шарик. Следовательно, вероятность выиграть у девочки в 2 раза больше, чем у мальчика, то есть равна 2/3.
Рассуждение 2.Пусть Аи В— шарики девочки, С— шарик мальчика. Могут представиться 4 случая.
1) И А, и Вближе к колышку, чем С.
2) Только Аближе к колышку, чем С.
3) Только Вближе к колышку, чем С.
4) Сближе к колышку, чем Аи В.
В 3 случаях из 4 девочка выигрывает. Следовательно, вероятность того, что она выиграет, равна 3/4.
Какое из рассуждений правильно? Для того чтобы докопаться до истины, составим исчерпывающий перечень возможных исходов бросаний 3 шариков. В него войдут не 4, а 6 возможных случаев.
Если считать, что на первом месте стоит ближайший к колышку шарик, то равновероятны следующие расположения шариков:
В 4 случаях из 6 девочка выигрывает. Это подтверждает вывод, полученный с помощью первого рассуждения: девочка выигрывает с вероятностью 2/3.
Тем, кому приходится часто пользоваться лифтом, вероятно, доводилось не раз обращать внимание на один странный теоретико-вероятностный парадокс. Предположим, что лифты в этом здании ходят независимо и среднее время ожидания на каждом этаже одинаково.
Мистер Верх работает в конторе на одном из верхних этажей. Он очень удивлен.
М-р Верх.Поразительно! Первым всегда приходит лифт снизу. Я замечал это неоднократно.
М-р Верх.Может быть, лифты собирают в подвале, а готовую продукцию отправляют с крыши здания на вертолетах?
Мисс Низ работает в конторе на одном из нижних этажей. Каждый день она в обеденный перерыв поднимается в ресторан, расположенный на верхнем этаже здания.
Мисс Низ также очень удивлена.
Мисс
Мисс Низ.Должно быть, лифты доставляют вертолетами на крышу здания, а оттуда спускают на склад в подвале.
Загадка с лифтами решается просто. По вызову мистера Верха сверху могут прийти только лифты, находящиеся в зачерненном участке шахты. Длина этого участка мала по сравнению с длиной остальной, более светлой части шахты. Следовательно, вызванный им лифт с большей вероятностью придет снизу. Так же решается и загадка, мучившая мисс Низ.
Парадокс с лифтом впервые появился в книге математических задач на смекалку, выпущенной физиком Джорджем Гамовым и его другом Марвином Стерном. Объясняя парадокс с одним лифтом, Гамов и Стерн допустили небольшую ошибку. Они утверждали, что вероятности, «разумеется, останутся такими же», если лифтов будет два или больше.
Первым, кто понял, что это не так, был известный специалист по вычислительной математике из Стэнфордского университета Дональд Кнут. В статье «Задача Гамова — Стерна о лифте» [22] Кнут получил несколько неожиданный результат: с увеличением числа лифтов вероятность того, что на любом этаже (кроме первого и последнего) первым придет лифт снизу, стремится к 1/2, и вероятность того, что первым придет лифт сверху, также стремится к 1/2.
В действительности эта ситуация еще более парадоксальна, чем в первоначальном варианте задачи.
22
The Journal of Recreational Mathematics, July 1969.
Результат Кнута означает, что если вы находитесь на одном из последних этажей и стоите перед дверями одного из лифтов, то с высокой вероятностью именно тот лифт, который вы ждете, придет снизу, рели же вы готовы сесть в любой лифт, который остановится на вашем этаже, то вероятность того, что первым придет лифт снизу, будет иной. При неограниченном увеличении числа лифтов эта вероятность стремится к 1/2. То же верно и относительно лифтов, приходящих по вызову на нижние этажи сверху.
Разумеется, мы предполагаем, что лифты ходят независимо, с постоянной скоростью и что среднее время ожидания одинаково для всех этажей. Если число лифтов невелико, то вероятности изменяются незначительно. Но если число лифтов достигает 20 или более, то вероятности для всех этажей, кроме первого и последнего, мало отличаются от 1/2.
У одного парня были две знакомые девушки, и он никак не мог выбрать, с кем из них отправиться на свидание. Одна из девушек жила к востоку от того места, где жил он сам, другая — к западу.
Ежедневно парень в случайное время спускался на станцию метро и садился в первый попавшийся поезд.
Поезда в восточном и западном направлениях шли с интервалом в 10 мин.