Алиса в стране математики

Генденштейн Лев Элевич

Например, эти две прямые пересекаются в одной точке:

А эти два круга имеют бесконечно много общих точек:

Если же две фигуры не пересекаются, у них нет ни одной общей точки. Таковы, например, параллельные прямые:

или эти два квадрата:

Множество общих элементов двух множеств называется пересечением этих множеств. Например, пересечение множеств всех девочек и множеств всех Алис — это девочки, которых зовут Алисами. Вы уже догадались, конечно, что пересечение множеств и произведение множеств, о котором беседовали Алиса и Гусеница — это одно и то же!

Сумма множеств тоже имеет второе название — «объединение множеств». Например, объединением множеств приручённых животных и сказочных животных будет множество, состоящее из животных, каждое из которых приручённое или сказочное (при этом оно может быть и приручённым и сказочным одновременно!). К такому множеству принадлежат, скажем, дрессированные собачки (приручённые животные), Белый Кролик с часами в жилетном кармане (сказочное животное), а также дрессированные драконы (приручённые и сказочные одновременно). А вот, например, динозавры, действительно жившие на Земле миллионы лет назад, к такому множеству не принадлежат (во-первых, приручить их тогда ещё было некому, а, во-вторых, хотя они и были похожи на драконов, они всё-таки были не сказочными, а настоящими!).

Множество можно задавать не только указанием общего свойства всех предметов, входящих в это множество (как мы это делали до сих пор). Есть и другой способ: просто перечислить все элементы множества (помните множество, состоящее из Алисы и Гусеницы?).

Для того, чтобы легче было разбираться в том, как связаны различные множества, то есть каковы их объединение и пересечение, математик Эйлер (о нём мы уже писали) предложил обозначать множества кругами — эти круги называются обычно «кругами Эйлера». Например, для «слишком страшной истории», которую Герцогиня рассказывала Младенцу, круги Эйлера выглядят так:

Горизонтальными линиями здесь заштриховано «множество пиратов, потерявших левый глаз», вертикальными — «множество пиратов, потерявших правый глаз», а двойная штриховка обозначает пересечение этих множеств, то есть «множество пиратов, потерявших оба глаза».

Раз для множеств можно определить сложение и умножение (пусть даже и с несколько необычными свойствами), значит, можно построить и «алгебру множеств». Эта алгебра действительно была построена, и оказалось, что она в точности совпадает с той «алгеброй логики», которую построил Буль (с ним мы тоже уже знакомы)!

Совпадение это, конечно, не случайно: дело в том, что логика имеет дело с высказываниями, а каждое высказывание — это утверждение о каких-то множествах.

Возьмём, например, такое высказывание: «Миша хочет шоколадку или заводную машину!». Здесь речь идёт о предмете, который принадлежит сумме множеств «шоколадки» и «заводные машины». Предположим, выбрана заводная машина.

— Какую машину Миша хочет?

— Красную и большую!

Тут уже говорится о произведении двух множеств: «красных заводных машин» и «больших заводных машин»!

Пока учёные ограничивались конечными множествами, то есть множествами, содержащими конечное число элементов, никаких неожиданностей не возникало: использование множеств позволяло только, как говорил Эйлер, «облегчать рассуждения».

А вот когда стали изучать бесконечные множества, начались чудеса! К ним мы сейчас и перейдём.

НЕБЫЛИЦА О КАНТОРЕ, В КОТОРОЙ ВСЁ — ПРАВДА!

Разные множества есть в этом мире: Множество тапочек в нашей квартире, Множество ветров, гуляющих в поле, Множество тигров, живущих на воле, Множество фильмов, в которых стреляют, Множество звёзд, что ночами мерцают, Множество тех, кто не спит до рассвета, Множество тех, кто не шлёт нам привета, Множество тех, кто хотел бы подраться, Множество тех, кто умеет смеяться. Множество тех, чей приятель — блондин... Есть множество множеств, Но Кантор — один!

ШАХМАТНЫЙ БАЛ

Алиса с Чеширским Котом вышли к берегу моря и остановились перед обрывом. Далеко внизу пенился прибой.

— Как же мы попадём отсюда на бал? — удивлённо спросила Алиса и посмотрела на Кота.

Кот не ответил — он вглядывался вдаль и, казалось, чего-то ждал.

— За нами, наверное, должен прийти корабль, — подумала Алиса. — А, может быть, бал будет на самом корабле?

Она посмотрела туда, куда смотрел Кот, но не увидела ничего, кроме линии горизонта.

— Эта линия очень похожа на прямую, — сказала Алиса, показывая на линию горизонта.

— Ты уверена? — отозвался Кот.

— Ничего прямее даже представить невозможно! — воскликнула Алиса.

— Тогда посмотри кругом, — предложил Кот.

Алиса повела взглядом вдоль линии горизонта и с удивлением обнаружила, что море окружает их со всех сторон — они с Котом стояли теперь на одинокой скале посреди моря!

— Ну что? — широко улыбаясь, спросил Кот. — Ты по-прежнему считаешь, что линия горизонта похожа на прямую?

Алиса ещё раз обвела взглядом всю линию горизонта — для этого ей пришлось снова повернуться кругом!

— Нет, — признала она. — Линия горизонта возвращается в ту же точку, а прямая — не возвращается!

— Значит, линия горизонта — не прямая, — заключил Кот и, видя удивление Алисы, добавил: — Это окружность.

— Окружность рисуют циркулем, — вспомнила Алиса (она успела прочесть об этом в учебнике математики). — Но где же здесь циркуль?