Алиса в стране математики

Генденштейн Лев Элевич

Однако только через сто пятьдесят лет после того, как Лейбниц высказал свою идею, ирландский математик Буль создал тот язык, о котором мечтал Лейбниц. Буль построил «алгебру логики», в которой есть уравнения, похожие на уравнения «обычной» алгебры, только при решении логического уравнения ищется ответ не на вопрос «сколько?», а на вопрос «истинно или ложно?». И сегодня, пользуясь «алгеброй логики» (чаще её называют «булевой алгеброй»), электронно-вычислительные машины действительно начали доказывать теоремы! Правда, пока ещё с помощью математиков...

Уже в

самом начале развития логики выяснилось, что кроме истины и лжи бывает еще и «чушь» — высказывания, которые вообще лишены смысла (например, потому, что они противоречат самим себе). Но иногда противоречие запрятано так глубоко, что его ищут многие годы. Одним из первые таких примеров был знаменитый «парадокс лжеца»: если кто-то говорит «я лгу», то его слова лишены смысла (помните «показания» Мартовского Зайца?). Очень интересный парадокс был предложен английским учёным Расселом в начале XX века: должен ли брить самого себя цирюльник, которому приказано брить тех и только тех, кто не бреется сам? (Помните похожий королевский закон о Шляпнике?).

Парадоксы всегда привлекали учёных, потому что разбор парадоксов позволяет лучше понять законы мышления и учит избегать ошибок. А кроме того, парадоксы неожиданны и интересны, и этого уже достаточно для того, чтобы с ними стоило познакомиться!

Кстати, «парадокс стоящих часов», которые показывают точное время чаще, чем идущие, принадлежит самому Льюису Кэрроллу, а точнее — Чарльзу Лютвиджу Доджсону, который занимался как раз математической логикой.

НЕБЫЛИЦА О ТОМ, КАК ЛЕЙБНИЦ И БУЛЬ ИЗОБРЕЛИ ЯЗЫК МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Однажды заспорили Лейбниц и Буль — Был жарким тот спор небывало! К тому же учтите: был знойный июль, И солнце в зените стояло. Обоих манила прохладой вода, Но спор всё сильней разгорался. И Лейбница вдруг осенило тогда — Он вот до чего догадался: — Слова надо знаками нам заменять — Ведь мы математики оба. Мы истину сможем тогда вычислять! А Буль отвечал: — Хорошо бы! Пришлось им придумать особый язык, Для поиска истин удобный — Они превратили песок в черновик, И все записали подробно. Им истина сразу же стала видна, Лишь только на запись взглянули! Буль первым нырнул. Уж светила луна. А Лейбниц нырнул вслед за Булем.

СЛИШКОМ СТРАШНАЯ ИСТОРИЯ

Алиса шла вдоль берега озера и радовалась, что суматоха королевского приёма и бестолковый суд остались позади: ей хотелось побыть одной и отдохнуть от всяких головоломок. Напевая песенку, она побежала вприпрыжку.

—

Скорей бы попасть на бал! — крутилось у неё в голове. — Ой, а не разучилась ли я танцевать? Надо проверить... начнём с кадрили!

И Алиса начала выделывать танцевальные фигуры, старательно повторяя те, которые получались не очень хорошо. Так, танцуя, она двигалась вперёд, глядя на свои ноги, и не заметила, что дорога повернула в лес. Лес становился всё гуще, и, наконец, стемнело так, что Алиса с удивлением подняла голову — лучи солнца с трудом пробивались сквозь листву!

— Когда в лесу темнеет, это обычно из-за того, что прилетает дракон, — вспомнила Алиса слова Эдит и на всякий случай внимательно посмотрела по сторонам.

Дракона она не увидела, но зато ей показалось, что на неё кто-то смотрит.

— Меня, наверное, приняли за сумасшедшую, — с досадой подумала Алиса. — Разве тот, кто в своём уме, станет танцевать кадриль в лесу?

И тут она заметила, что над грибом, возле которого она стояла, поднялись клубы дыма. Гриб был ростом с Алису (точнее, она была ростом с гриб: ведь она так и осталась маленькой!), и поэтому Алисе не было видно, откуда идёт дым.

— Может, там сидит дракон? — встревожилась она. — Маленький, но огнедышащий!

Алиса поднялась на цыпочки и... глаза её встретились с круглыми глазами дракона, который пустил струю дыма прямо в лицо Алисе! Она в ужасе отпрянула и спряталась за ближайшее дерево.

— Первым делом надо вырасти! — подумала Алиса, и всё вокруг сразу же уменьшилось.

Выглянув из-за дерева, Алиса увидела, что на шляпке гриба сидит Синяя Гусеница и преспокойно курит кальян. Алисе стало стыдно, что она приняла Гусеницу за дракона, и она вышла из-за дерева.

— Ты кто? — спросила Гусеница ленивым голосом.

— Алиса, — ответила Алиса, довольная, что разговор начался.

— Значит, вот они какие — Алисы... — задумчиво произнесла Гусеница, разглядывая Алису с головы до ног. — Скажи, а все Алисы такие — двуногие, танцующие, пугливые, быстрорастущие и с бантом?

— Алиса — это моё имя, — пояснила Алиса. — Я — девочка, а зовут меня Алисой.

— Ты хочешь сказать, что ты принадлежишь множеству девочек и множеству тех, кого зовут Алисами? — спросила Гусеница.

— Я не уверена, что хотела сказать именно это, — призналась Алиса. — Честно говоря, я даже не знала, что принадлежу каким-то множествам!

— Все принадлежат каким-то множествам, — отозвалась Гусеница, пуская новые клубы дыма.

— И вы тоже? — спросила Алиса.

— И я, — подтвердила Гусеница. — Я принадлежу множеству гусениц и множеству тех, кто живёт в этом лесу... Кстати, есть и такие множества, которым мы с тобой принадлежим вместе!

— Мы с вами? — поразилась Алиса. — Но у нас же нет ничего общего!

— Так уж и ничего? — спросила Гусеница, и Алисе показалось, что та на неё немного обиделась.

— Есть, есть общее! — спохватилась Алиса (ей совсем не хотелось обижать Гусеницу). — У нас обеих есть глаза, мы обе умеем разговаривать, и ещё...

— ... и ещё много чего общего, — согласилась Гусеница, хотя нотки обиды всё ещё сквозили в её голосе.

— Значит, мы с вами вместе принадлежим множеству тех, у кого есть глаза, и множеству тех, кто умеет разговаривать? — спросила Алиса.