? – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания

Ливио Марио

Рис. 118

Рис. 119

Рис. 120

Рис. 121

Рис. 122

Более того, все незакрашенные белые прямоугольники на последнем рисунке – это золотые прямоугольники. Таким образом, мы обнаруживаем, что хотя в евклидовой геометрии золотое сечение выводится из правильного пятиугольника,

в геометрии фракталов оно связано даже с более простыми фигурами вроде квадратов и равносторонних треугольников. Свыкнувшись с этой концепцией, вы поймете, что мир вокруг битком набит фракталами. В терминах фрактальной геометрии можно описать самые разные предметы – от контуров леса на фоне неба до системы кровеносных сосудов в почке. Если окажется верной одна из моделей Вселенной, которая называется хаотической теорией инфляции, значит, фрактальные закономерности характерны для Вселенной в целом. Объясню суть этой концепции в самых общих чертах. Теория космической инфляции, которую выдвинул Алан Гут, предполагает, что когда нашей Вселенной была всего доля секунды от роду, наше пространство практически мгновенно раздулось до пределов, далеко превосходящих возможности наших телескопов. Движущая сила, стоявшая за этим колоссальным расширением, – весьма необычное состояние материи под названием «ложный вакуум». Эту ситуацию можно уподобить мячу, лежащему на вершине пологого холма, как на рис. 123. Дело в том, что пока Вселенная оставалась в состоянии ложного вакуума, то есть мяч лежал на вершине холма, она расширялась очень быстро, вдвое увеличиваясь в размерах за крошечную долю секунды. Стремительное расширение прекратилось, лишь когда мяч скатился с холма в низкоэнергетическую «канаву» у подножия (которая символически отражает тот факт, что ложный вакуум распался).

Рис. 123

Согласно инфляционной модели, так называемая «наша» Вселенная пребывала в состоянии ложного вакуума очень недолго и все это время расширялась в фантастическом темпе. Затем ложный вакуум распался, и наша Вселенная стала расширяться куда более лениво, что мы и наблюдаем сегодня. Вся энергия и субатомные частицы нашей Вселенной были созданы во время осцилляции, последовавшей за распадом (схематически это отражено в третьей части рис. 123). Однако модель космической инфляции предсказывает также, что темп расширения в состоянии ложного вакуума гораздо стремительнее темпа распада. Следовательно, судьбу области ложного вакуума можно схематически проиллюстрировать рис. 124. Вселенная начинается с участка ложного вакуума. С течением времени какая-то часть этого участка (на рисунке – треть) распадается и порождает «карманную вселенную» вроде нашей. Одновременно участки, остающиеся в состоянии ложного вакуума, продолжают расширяться, и ко времени, которое схематически отражено второй строкой на рис. 124, каждый из них приобретает те же размеры, что и вся система из первой строки (масштаб на рисунке не соблюден из соображений экономии места). Время течет дальше, мы переходим от второй строки к третьей, центральная карманная вселенная продолжает медленно развиваться согласно общепринятой теории Большого Взрыва. Однако каждый из двух оставшихся участков ложного вакуума развивается в точности так же, как и первоначальный участок ложного вакуума: часть его распадается, и возникает карманная вселенная. Каждый участок ложного вакуума расширяется до размеров системы из верхней строчки (рисунок опять же не в масштабе). Таким образом создается бесконечное количество карманных Вселенных – и фрактальный узор: одна и та же последовательность участков ложного вакуума и карманных вселенных повторяется в постоянно уменьшающемся масштабе. Если выяснится, что эта модель и в самом деле отражает эволюцию Вселенной в целом, значит, наша карманная Вселенная – всего лишь одна из бесчисленного множества существующих карманных вселенных.

Рис. 124

В 1990 году профессор Джаспер Мемори из Университета Северной Каролины опубликовал в «Mathematics Magazine» стихотворение под названием «Блейк и фракталы». Вспомнив уже цитировавшиеся строки Блейка «В одном мгновенье видеть вечность, / Огромный мир – в зерне песка, / В единой горсти – бесконечность / И небо – в чашечке цветка», Мемори написал:

Вильям Блейк сказал однажды:Видит он в песчинке каждойПерспективы бесконечностьИ в мгновенье видит вечность.Прав был мистик и поэт.Он предчувствовал предмет,Обоснованный в работахИ расчетах Мандельброта.То, что Блейк обрисовал,Мы сейчас зовем «фрактал».Изменения масштабаВид его меняют слабо.Вглубь фрактала кинув взгляд,Видим мы ритмичный ряд:Формы, линии дробя,Повторяет сам себя.Отдаляем взгляд, и сноваСохраняет он основу,Свойства прежние хранит,получает прежний вид.Истончаясь в паутину,Всю сложнейшую картинуИ структуры безупречностьНе теряет бесконечность.(Пер. М. Федоровой)

Некоторые современные методы применения золотого сечения, чисел Фибоначчи и фракталов распространяются на области куда более приземленные, чем модель космической инфляции. Более того, многие считают, что эти методы буквально бьют нас по карману.

Золотое путешествие по Уолл-стрит

Числа Фибоначчи и золотое сечение, оказывается, сплошь и рядом применяют при анализе рынка ценных бумаг, и самый известный метод их применения связан с именем Ральфа Нельсона Эллиотта(1871–1948). По профессии Эллиотт был бухгалтер и занимал высокие посты в различных железнодорожных компаниях, в основном в Центральной Америке. В 1929 году он был вынужден удалиться от дел, так как был прикован к постели из-за серьезной болезни желудка. Чтобы чем-то заняться, Эллиотт начал подробнейшим образом анализировать все взлеты и падения промышленного индекса Доу-Джонса. За свою жизнь Эллиотт успел повидать и стремительный рост цен на рынке ценных бумаг в двадцатые годы, и последовавшую за этим Великую Депрессию. Подробный анализ подтолкнул его к выводу, что колебания

рынка не случайны. В частности, он отметил: «Рынок ценных бумаг – творение человека, поэтому он отражает все человеческие особенности». Главное наблюдение Эллиотта заключалось в том, что в конечном итоге закономерности колебаний рынка отражают циклы оптимизма и пессимизма у человека.

Девятнадцатого февраля 1935 года Эллиотт отправил в один детройтский журнал, публиковавший статьи о фондовом рынке, трактат под названием «Теория волн» (Ralph Nelson Elliott. The Wave Principle). Эллиотт полагал, что вывел характерные черты, которые «составляют принцип, определяющий рыночный тренд, и позволяющий заметить ясные признаки надвигающихся перемен». Впоследствии трактат составил книгу под тем же названием, увидевшую свет в 1938 году.

Основная идея Эллиотта была относительно проста. Он утверждал, что за колебаниями рынка стоит фундаментальная закономерность, состоящая из пяти волн за период тренда роста (оптимистического тренда) – на рис. 125 они отмечены номерами – и трех волн за период тренда падения (пессимистического тренда) – на том же рис. 125 они отмечены буквами. Обратите внимание, что 5, 3 и 8 – общее число волн – это числа Фибоначчи. Далее Эллиот утверждал, что изучение флуктуаций на более коротком интервале времени выявляет повторение той же закономерности (рис. 126), и количество мелких волн, составляющих крупные, соответствуют последующим числам Фибоначчи. Эллиот считал, что «самое большое число, имеющее практический смысл», – это 144, при котором рыночный цикл завершается, и это выглядит следующим образом. За общим трендом роста, который состоит из пяти крупных волн, двадцати одной средней волны и восьмидесяти девяти мелких волн, следует общий тренд падения, состоящий из трех крупных, тринадцати средних и пятидесяти пяти мелких волн (рис. 126).

Рис. 125

Рис. 126

В дальнейшем появились книги, где общие идеи Эллиотта применялись к конкретным рыночным стратегиям, и их авторы заходили даже дальше. Они применяли золотое сечение, чтобы вычислить ожидаемые (однако не всегда достигаемые) значения максимума и минимума в конце периодов роста или падения (рис. 127). Еще более хитроумные алгоритмы выражают отношения между ценой и временем при помощи логарифмической спирали, наложенной на ежедневные колебания рынка. Все эти попытки строить надежные прогнозы опираются на то, что числа Фибоначчи и золотое сечение каким-то образом связаны с массовой психологией. Однако подобный «волновой» подход не лишен недостатков. «Волна» Эллиотта часто бывает подвержена тем или иным растяжениям, сжатиям и прочим искажениям, иногда произвольным, рукотворным: ее сплошь и рядом подгоняют под реальную ситуацию на рынке, которую она якобы «предсказывает». Однако инвесторы прекрасно знают, что любые, самые затейливые современные оценки эффективности инвестиционного портфеля, сулящие довести до максимума прибыль при разумном риске, все равно ничего не гарантируют и состояние можно создать и потерять в мгновение ока.

Рис. 127

Вероятно, вы заметили, что волновая интерпретация Эллиота, в частности, опирается на представление о том, что каждая часть кривой – это уменьшенная копия кривой в целом, то есть на главную идею фрактальной геометрии. И в самом деле, Бенуа Мандельброт в 1997 году выпустил книгу под названием «Фракталы, случай и финансы», где описывал рыночную экономику вполне определенными фрактальными моделями. Он опирался на известный факт, что флуктуации рынка ценных бумаг выглядят одинаково, даже когда диаграммы колебаний увеличивают или уменьшают в соответствии с тем или иным масштабом цен и времени. Если посмотреть на эти диаграммы с расстояния, на котором метки на осях уже не видно, непонятно, какие колебания на них отражены – за день, за неделю или за час. Основное новаторство теории Мандельброта по сравнению с привычной теорией эффективности инвестиционного портфеля состоит в способности моделировать не только ситуацию на спокойном рынке, но и всевозможные бурные времена. А теория эффективности инвестиционного портфеля описывает лишь относительно мирную рыночную активность. Впрочем, Мандельброт не претендовал на то, что его теория может предсказать падение или стремительный взлет цен в какой-то конкретный день: при помощи его модели можно лишь оценивать вероятность возможного исхода. Когда Мандельброт опубликовал упрощенное описание своей модели в журнале «Scientific American» за февраль 1999 года, последовал шквал писем от читателей. Пожалуй, лучше всех выразил всеобщее недоумение Роберт Инот из Чикаго: «Если мы знаем, что какая-то акция за заданное время подорожает с 10 до 15 долларов, нам неважно, как мы наложим фракталы и выглядит ли схема аутентично. Нам важно другое – что мы можем купить ее за 10 долларов, а продать за 15. Теперь каждый может разбогатеть – но почему мало кому это удается?»

Первоначальный волновой принцип Эллиота – это отважная, пусть и наивная попытка выявить закономерность в процессе, который на первый взгляд представляется случайным. Однако не так давно числа Фибоначчи и случайность повстречались при более интересных обстоятельствах.

Кролики, орлы и решки

Определяющее свойство последовательности Фибоначчи – что каждое число в ней есть сумма двух предыдущих – было получено из чисто теоретического описания размножения кроликов. В этом определении ничто не намекало на то, что воображаемая закономерность кроличьей плодовитости найдет воплощение во множестве природных и культурных явлений. Однако еще маловероятнее было бы предположение о том, что эксперименты с основными свойствами самой этой последовательности проложат путь к пониманию математики неупорядоченных систем. Однако именно это произошло в 1999 году. Специалист по информатике Дивакар Вишванат, занимавший временную должность младшего научного сотрудника в Институте математических исследований в Беркли, отважился задать вопрос «А что, если», который неожиданно привел к открытию очередного «особенного» числа: 1,13198824…

Красота открытия Вишваната во многом объясняется простотой его главной идеи. Вишванат всего-навсего задался вопросом: что, если начать с двух чисел 1 и 1, как в изначальной последовательности Фибоначчи, но потом не просто складывать два числа и получать третье, а бросать монетку, чтобы решать, складывать их или вычитать последнее число из предпоследнего. Например, можно решить, что орел – это сложение, и тогда третье число будет 2, а решка – вычитание, и тогда третье число будет 0. Продолжим в том же духе – каждый раз будем бросать монетку, чтобы решить, прибавлять последнее число или отнимать, чтобы получить следующее. Например, при последовательности результатов бросков ОРРООРОРРО получится последовательность 1, 1, 2, –1, 3, 2, 5, –3, 2, –5, 7, 2. А если результаты бросков, что крайне маловероятно, будут ООООООООООООООООООО, у нас получится первоначальная последовательность Фибоначчи.