? – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания
Шрифт:
Члены последовательности Фибоначчи увеличиваются очень быстро, как степень золотого сечения. Вспомним, что семнадцатое число в последовательности, например, получается, если возвести золотое сечение в семнадцатую степень, поделить на квадратный корень из 5 и округлить результат до ближайшего целого числа (1597). А поскольку последовательности Вишваната генерируются при помощи совершенно случайной череды бросков монетки, вовсе не очевидно, что в результате получится плавная закономерность роста, даже если брать только модули чисел, игнорируя минусы. Однако, представьте себе, Вишванат обнаружил, что если брать только модули чисел, не обращая внимания на минусы, то значения чисел в его случайной последовательности все равно возрастали по строго предсказуемой, определенной закономерности. Оказалось, что с вероятностью почти 100 % сотый член любой такой последовательности всегда оказывается близок к сотой степени особого числа 1,13198824…, и чем дальше, тем ближе оказываются члены последовательности к соответствующей степени этого числа. Чтобы вычислить его, Вишванату пришлось применять фракталы и опереться на фундаментальную теорему, которую еще в начале 1960 годов сформулировали Гиллель Фюрстенберг из Еврейского университета в Иерусалиме и Гарри Кестен из Корнельского университета
Значение трудов Вишваната заключается не только в открытии новой математической константы, что само по себе очень важно, но и в том факте, что она прекрасно показывает, как совершенно случайный процесс может привести к полностью детерминированному результату. Такого рода научные проблемы встречаются и во множестве природных явлений, и в электронных устройствах. Например, звезды вроде нашего Солнца вырабатывают энергию в ядерных «топках», находящихся в центре звезды. Однако чтобы мы увидели сияние звезд, нужно, чтобы огромное количество излучения – так называемых фотонов – пробилось из недр звезды к поверхности. Фотоны не просто пролетают звезду насквозь со скоростью света. Они мечутся туда-сюда, их рассеивают, поглощают и снова излучают атомы и электроны, составляющие газ на их пути, и все это вроде бы происходит случайно. Однако итог неизменен: проделав довольно-таки случайный путь, занимающий в случае Солнца примерно 10 миллионов лет, излучение все же покидает звезду. Мощность излучения с поверхности Солнца определяла и продолжает определять температуру на Земле и дала возможность зародиться жизни. Труды Вишваната и последующее изучение случайных последовательностей Фибоначчи прибавило к нашему математическому инвентарю дополнительные инструменты, объясняющие поведение неупорядоченных систем. Однако открытие Вишваната преподало нам и другой важный урок: даже тривиальная на первый взгляд математическая задачка, которой от роду восемьсот лет, все равно способна на новые сюрпризы.
Может быть, Бог – математик?
…Я собираюсь исследовать человеческие пороки и глупости геометрическим путем… Таким образом, аффекты ненависти, гнева, зависти и т. д., рассматриваемые сами в себе, вытекают из той же необходимости и могущества природы… Итак, я буду трактовать о природе и силах аффектов и могуществе над ними души по тому же методу, следуя которому я трактовал в предыдущих частях о боге и душе, и буду рассматривать человеческие действия и влечения точно так же, как если бы вопрос шел о линиях, поверхностях и телах.
Складывая два и два, математик упорно получает четыре, как бы ни ныл любитель, что ему хочется три, и как бы ни вопил критик, что ему требуется пять.
Евклид дал определение золотому сечению, поскольку был заинтересован в применении этой несложной пропорции для построения правильного пятиугольника и пентаграммы. Если бы практическое применение золотого сечения этим и ограничивалось, я не стал бы писать эту книгу. Золотое сечение приносит нам столько радости и сегодня во многом потому, что не скупится на сюрпризы. Оказалось, что золотое сечение, с одной стороны, самая простая из непрерывных дробей (и при этом «самое иррациональное» из всех иррациональных чисел), а с другой – сущность бесконечного множества сложнейших природных явлений. Золотое сечение выскакивает, как чертик из табакерки, всякий раз, когда пересекается простое и сложное, Евклидова геометрия и геометрия фракталов.
Пожалуй, удовольствие от нежданных появлений золотого сечения на удивление близко к чувственному визуальному удовольствию от произведения искусства. А это заставляет задаться вопросом, какого рода эстетические критерии применимы в математике, а конкретнее – что, собственно, имел в виду знаменитый английский математик Годфри Гарольд Харди (1877–1947), когда сказал: «У математика, как и у поэта и у живописца, должны получаться красивые узоры».
Вопрос этот не из простых. Когда я рассказывал о психологических экспериментах, изучавших визуальную привлекательность золотого сечения, то умышленно избегал слова «красивый». Ту же линию поведения я изберу и здесь, поскольку определение красоты связано с неопределенностью. В какой степени глаз взирающего на математические выкладки воспринимает их красоту, прекрасно видно на примере истории, которую рассказали Филипп Дж. Дэвис и Реубен Херш в своей прекрасной книге «Опыт общения с математикой» (Philip J. Davis, Reuben Hersh. The Mathematical Experience, 1981).
В 1976 году делегация выдающихся математиков из США была приглашена в КНР, чтобы выступить с циклом лекций и провести ряд неофициальных встреч с китайскими математиками. Впоследствии делегация опубликовала доклад под названием «Чистая и прикладная математика в КНР». Под «чистой» математикой сами математики обычно подразумевают те области этой науки, которые, по крайней мере на сторонний взгляд, не имеют прямого отношения к миру вне разума ученого. В то же время нам следует понимать, что мозаики Пенроуза и случайные последовательности Фибоначчи, в частности, представляют собой два из великого множества примеров, когда «чистая» математика превращается в «прикладную». В докладе был приведен диалог между принстонским математиком Джозефом Дж. Коном и одним из китайских математиков, которые принимали делегацию. Диалог был о «красоте математики» и произошел в шанхайском университете Хуа Тун.
Кон: Неужели вы не должны демонстрировать красоту математики? Разве она не вдохновляет студентов? Остается ли место для красоты в науке?
Ответ: Главное требование – производительность.
Кон: Это не ответ.
Ответ: Геометрия была разработана в практических целях. Эволюция геометрии не могла удовлетворить нужды науки и технического прогресса, и в XVII веке Декарт открыл аналитическую геометрию. Он анализировал поршни и токарные станки и одновременно – принципы аналитической геометрии. Труды Ньютона обусловлены
Поскольку, как недвусмысленно заявлено в этом диалоге, едва ли существуют официальные, общепризнанные критерии красоты в математике и правила, согласно которым их следует применять, я и предпочту говорить лишь об одной конкретной составляющей математики, которая неизменно доставляет удовольствие как специалистам, так и неспециалистам: о способности изумлять.
Математика должна изумлять
В письме, написанном 27 февраля 1818 года, английский поэт-романтик Джон Китс (1795–1821) писал: «Поэзия должна изумлять отточенным превосходством, а не оригинальностью, она должна изумлять читателя, будто воплощение в словах его собственных высочайших помыслов, и казаться чуть ли не воспоминанием». Математика, в отличие от поэзии, вызывает восторг скорее тогда, когда приводит к неожиданным результатам, чем когда подтверждает ожидания читателя. Кроме того, удовольствие, которое доставляет математика, во многих случаях как раз связано с неожиданностью, когда получаешь совершенно непредвиденные результаты и выявляешь поразительные соотношения. Прелестный пример математического соотношения, в истории которого сочетаются все эти элементы, что и приносит огромное удовольствие – это так называемый «закон Бенфорда».
Заглянем, к примеру, в ежегодник «World Almanac», где собраны примечательные факты и всевозможная статистика, и найдем там таблицу «Рынок фермерских товаров в США по штатам» за 1999 год. Там есть колонки «Зерновые культуры» и «Продукты животноводства». Данные приведены в долларах. Наверное, вы считаете, что числа, начинающиеся с цифр от 1 до 9, встречаются среди этих данных примерно с одинаковой частотой. То есть числа, запись которых начинается с 1, составят приблизительно одну девятую всех приведенных чисел, как и числа, запись которых начинается с 9. Однако если их подсчитать, то окажется, что цифра 1 на первой позиции появляется в 32 % случаев, а не в 11, как было бы, если бы цифры появлялись с равной частотой. Цифра 2 также появляется чаще, чем ей полагалось бы – в 19 % случаев. А вот цифра 9 встречается лишь в 5 % случаев, реже, чем ожидается. Вы скажете, что подобная картина в одной случайно выбранной таблице – это странно и даже курьезно, но не то чтобы изумляет; однако стоит вам изучить еще несколько страниц ежегодника (вышеуказанные данные взяты из издания за 2001 год), и впечатление изменится. Заглянем, например, в таблицу, где сведены данные о жертвах «Самых крупных землетрясений» – и обнаружим, что числа, начинающиеся с 1, составляют примерно 38 % всех чисел, а начинающиеся с 2–18 %. Если взять совсем другую таблицу – например, с данными о жителях штата Массачусетс, обитающих в городах с населением свыше 5000 человек, – числа, начинающиеся с 1, составят 36 %, а числа, начинающиеся с 2, примерно 16,5 %. С другой стороны, цифра 9 на первой позиции появляется в этих таблицах лишь примерно в 5 % случаев, гораздо меньше, чем ожидаемые 11 %. Как же получается, что таблицы, в которых приведены столь разнообразные и, очевидно, несвязанные данные, обладают общим свойством, что цифра 1 на первом месте появляется в 30 с чем-то процентах случаев, а цифра девять – приблизительно в 18 % случаев? Ситуация еще сильнее запутывается, если изучить более объемные базы данных. Например, преподаватель бухгалтерского дела Марк Нигрини из школы бизнеса имени Кокса при Южном методистском университете в Далласе изучил население 3141 округов по данным переписи населения США за 1990 год. Он обнаружил, что цифра 1 появляется на первом месте приблизительно в 32 % случаев, 2 – примерно в 17 %, 3 – в 14 %, а 9 – менее чем в 5 %. Аналитик Эдуардо Лей из организации «Resources for the Future» («Ресурсы для будущего») в Вашингтоне обнаружил очень похожую статистику в промышленном индексе Доу-Джонса за 1990 и 1993 годы. Но этого мало, есть и еще один поразительный факт. Если исследовать список, скажем, первых двух тысяч чисел Фибоначчи, то обнаружится, что цифра 1 на первом месте появляется в 30 % случаев, цифра 2 – в 17,65 %, 3 – в 12,5 % – и это количество продолжает падать: число 9 на первом месте появляется всего в 4,6 % случаев. То есть числа Фибоначчи чаще всего начинаются с 1, а другие цифры на первом месте теряют популярность в точности по той же закономерности, что и только что описанные случайные выборки чисел!
«Феномен первой цифры» первым отметил астроном и математик Саймон Ньюкомб (1835–1909) в 1881 году. Он обратил внимание, что в логарифмических таблицах в библиотеке, которыми тогда пользовались при вычислениях, страницы, где были напечатаны числа, начинающиеся с 1 и 2, значительно грязнее последующих, а к концу таблицы становятся все чище и чище. Если бы это были скверные романы, которые читатели бросали на середине, это еще можно было бы понять, однако в случае математических таблиц это очевидно показывало, что числа, начинающиеся с 1 и 2, встречаются чаще других. Однако Ньюкомб не просто установил этот факт, а пошел гораздо дальше – он вывел формулу, которая должна была показывать, с какой вероятностью случайное число начинается с конкретной цифры. Эта формула – она дана в Приложении 9 – дает для 1 вероятность в 30 %, для 2 – примерно 17,6 %, для 3 – около 12,5 %, для 4 – около 9,7 %, для 5 – примерно 8 %, для 6 – приблизительно 6,7 %, для 7 – где-то 5,8 %, для 8 – приблизительно 5 % и для 9 – примерно 4,6 %. Статья Ньюкомба, опубликованная в 1881 году в «American Journal of Mathematics», и открытый им «закон» остались совершенно незамеченными, однако миновало целых 57 лет, и физик Фрэнк Бенфорд из «General Electric» заново открыл этот закон – надо полагать, независимо – и проверил его на огромных массивах данных о речных бассейнах, бейсбольной статистике и даже числах, которые мелькают в статьях в «Reader’s Digest». Все эти данные поразительно точно соответствовали выведенной формуле, и теперь она известна как закон Бенфорда.