? – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания
Шрифт:
Если принять общие определения эволюции, допускающей квантовые скачки, и естественного отбора, действующего в течение длительного времени, то, пожалуй, можно найти объяснение «непостижимой» эффективности математики. Наша математика – символическая репрезентация вселенной в том виде, в каком мы ее воспринимаем, и могущество математики постоянно растет благодаря изысканиям человека.
Джеф Раскин, создатель компьютера «Макинтош» в корпорации «Эппл», подчеркивает иной аспект – эволюцию человеческой логики. В эссе об эффективности математики, опубликованном в 1998 году, Раскин приходит к выводу, что «человеческая логика [курсив мой. – М. Л.] навязана нам физическим миром и поэтому соответствует ему. Математика выведена из логики. Вот почему математика точно описывает физический
В пьесе «Тамерлан великий», где идет речь о герое-злодее маккиавеллиевского толка, который одновременно может быть и нежной душой, и жестоким убийцей, великий английский драматург Кристофер Марло (1564–1593) признает страсть человека к познанию Вселенной:
Из четырех враждующих стихийСоздав людей, природа в них вложилаТревожный и неукротимый дух:Он постигает стройный ход созвездийИ дивную гармонию вселенной,Пылает ненасытной жаждой знанья,Мятется, как далекий рой планет;Он нам велит идти, искать, стремиться…Золотое сечение есть продукт геометрии, которую изобрели люди. Однако люди не представляли себе, в какую волшебную страну заведет их это изобретение. Если бы мы не изобрели геометрию, то, вероятно, вообще не знали бы ничего о золотом сечении. Однако – кто знает? – возможно, мы получили бы его в результате работы короткой компьютерной программы.
Приложение 1
Мы хотим доказать, что для любых целых чисел p и q, таких, что p > q, три числа: p2 – q2; 2pq; p2 + q2 формируют пифагорову тройку. Иначе говоря, нам надо доказать, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего.
Для этого мы обратимся к общим формулам сокращенного умножения, справедливым для любых a и b:
(a + b)2 = (a + b) x (a + b)= a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = (a – b) x (a – b)= a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab – b2.
На основании этих формул квадрат первого числа равен
(p2 – q2)2 = p4 – 2p2q2 + q4.
Сумма первых двух квадратов равна
p4 – 2p2q2 + q4 + 4p2q2 = p4 + 2p2q2 + q4.
Квадрат
(p2 + q2)2 = p4 + 2p2q2 + q4.
Итак, мы видим, что квадрат третьего числа равен сумме квадратов первых двух чисел независимо от значений p и q.
Приложение 2
Мы хотим доказать, что диагональ и сторона правильного пятиугольника несоизмеримы, то есть у них нет общей меры.
Общий принцип доказательства по методу reductio ad absurdum приведен в конце главы 2.
Обозначим сторону правильного пятиугольника ABCDE как s1, а диагональ – как d1. Из свойств равнобедренных треугольников легко вывести, что AB = AH и HC = HJ. Теперь обозначим сторону меньшего правильного пятиугольника FGHIJ как s2 и его диагональ как d2. Очевидно, что
AC= AH + HC= AB + HJ.
Следовательно,
d1 = s1 + d2 или d1 – s1 = d2.
Если у d1 и s1есть какая-либо общая мера, значит, и d1, и s1представляют собой целое произведение этой общей меры. Следовательно, существует также общая мера d1 – s1, то есть d2. Подобным же образом равенства
AG= HC= HJ
AH= AB
и
AH= AG+ GH
AB= HJ+ GH
дают нам
s1 = d2 + s2