Фейнмановские лекции по физике. 3. Излучение. Волны. Кванты
Шрифт:
Фиг. 26 10. Фокусирующая оптическая система.
Фиг. 26.11. Эллиптическое зеркало.
Это означает, что мы должны найти такую кривую, для которой сумма расстояний ХХ'-\-Х'Р' будет постоянна, независимо от выбора точки X. Легче всего это сделать, продолжив отрезок XX' до плоскости LL'. Потребуем теперь, чтобы выполнялись соотношения А'А"=А'Р',В'В"=В'Р', С'С"=С'Р' и т. д.; в этом случае мы получаем нужную нам кривую, потому что сумма длин А 'А+А 'Р' =АА'+А 'А'' будет постоянной для всех точек кривой.
Приведенные примеры в общих чертах иллюстрируют принцип устройства оптических систем. Точные кривые можно рассчитать, используя правило равенства времен на всех путях, ведущих в точку фокуса, и требуя, чтобы время прохождения на всех соседних путях было большим.
В следующей главе мы еще вернемся к фокусирующим оптическим системам, а теперь обсудим дальнейшее развитие теории. Когда предлагается новый физический принцип, такой, как принцип наименьшего времени, то нашей первой естественной реакцией могли бы быть слова: «Все это очень хорошо, восхитительно, но вопрос заключается в том, улучшает ли это вообще наше понимание физики?». На это можно ответить: «Да. Посмотрите сколько новых фактов мы теперь поняли!» А кто-то возразит: «Ну, в зеркалах я и так разбираюсь. Мне нужна такая кривая, чтобы каждая касательная к ней плоскость образовывала равные углы с двумя лучами света. Я могу рассчитать и линзу, потому что каждый падающий на нее луч отклоняется на угол, даваемый законом Снелла». Здесь очевидным образом содержание принципа наименьшего действия совпадает с законом равенства углов при отражении и пропорциональности синусов углов при преломлении. Тогда, может быть, это философский вопрос, а может быть, вопрос просто в том, какой путь красивее? Можно привести аргументы в пользу обеих точек зрения.
Однако критерий важности всякого принципа состоит в том, что он предсказывает нечто новое.
Легко показать, что принцип Ферма предсказывает ряд новых фактов. Прежде всего предположим, что имеются три среды — стекло, вода и воздух и мы наблюдаем явление преломления и измеряем показатель nдля перехода из одной среды в другую.
Фиг. 26.12. Параболическое зеркало.
Обозначим через n12 показатель преломления для перехода из воздуха (1) в воду (2), а через n13— для перехода из воздуха (1) в стекло (3). Измерив преломление в системе вода— стекло, найдем еще один показатель преломления и назовем его п23 .Здесь заранее нет оснований считать, что n12 , n13 и n23 связаны между собой. Если же исходить из принципа наименьшего времени, то такую связь можно установить. Показатель n12 есть отношение двух величин—скорости света в воздухе к скорости света в воде; показатель n13 есть отношение скорости в воздухе к скорости в стекле, а n23 есть отношение скорости в воде к скорости в стекле. Поэтому, сокращая скорость света в воздухе, получаем
Другими словами, мы предсказываем, что показатель преломления для перехода из одного материала в другой можно получить из показателей преломления каждого материала по отношению к некоторой среде, скажем воздуху или вакууму. Таким образом, измерив скорость света во всех средах, мы образуем одно число для каждой среды — показатель преломления для перехода из вакуума в среду — и называем его ni(например, ni для воздуха есть отношение скорости в воздухе к скорости в вакууме и т. д.), после чего легко написать нужную формулу. Показатель преломления для любых двух материалов i и j равен
Используя только закон Снелла, подобное соотношение предсказать невозможно. Но связь эта существует. Соотношение (26.5) известно давно и послужило сильным аргументом в пользу принципа наименьшего времени.
Еще одно предсказание принципа наименьшего времени состоит в том, что скорость света в воде при измерении должна оказаться меньше скорости света в воздухе. Это уже предсказание совсем другого рода. Оно гораздо глубже, потому что носит теоретический характер и никак не связано с наблюдениями, из которых Ферма вывел принцип наименьшего времени (до сих пор мы имели дело только с углами). Как оказалось, скорость света в воде действительно меньше скорости в воздухе, и ровно настолько, чтобы получился правильный показатель преломления.
§ 5, Более точная формулировка принципа Ферма
До сих пор мы фактически пользовались неправильной формулировкой принципа наименьшего времени. Здесь мы сформулируем его более точно. Мы неправильно называли его принципом наименьшего времени и для удобства по ходу дела применяли неправильную его трактовку. Но теперь мы выясним точное содержание принципа. Пусть имеется зеркало. Мы его показали на
фиг. 26.3. Откуда свет знает, что он должен двигаться к зеркалу? Очевидно, путь, требующий наименьшего времени,— это линия АВ, Кое-кто поэтому может сказать: «Иногда этот путь требует как раз наибольшего времени». Так это неправильно! Путь по кривой наверняка займет еще больше времени! Точная формулировка принципа следующая: луч, проходящий по траектории, обладает тем свойством, что любое малое изменение пути (скажем, на 1%), расположения точки падения луча на зеркало, или формы кривой, или какие-либо иные изменения, не приводит в первом порядке к изменению времени прохождения; изменение времени происходит только во втором порядке. Другими словами, согласно этому принципу, свет выбирает один путь из множества близлежащих, требующих почти одинакового времени для прохождения.
С принципом наименьшего времени связана еще одна трудность, которую многие, не любящие такого рода теории, никак не могут переварить. Теория Снелла помогает легко «понять» поведение света. Свет проходит, видит перед собой поверхность и отклоняется, потому что на поверхности с ним что-то происходит. Легко понять идею причинности, проявляющуюся в том, что свет идет из одной точки в другую, а затем в следующую. Но принцип наименьшего времени есть философский принцип, который совсем иначе объясняет причину явлений в природе. Вместо причинной обусловленности, когда из одного нашего действия вытекает другое и т. д., этот принцип говорит следующее: в данной ситуации свет выбирает путь с наименьшим, или экстремальным временем. Но как удается свету выбирать свой
Фиг. 26.13, Прохождение радиоволн сквозь узкую щель.
путь? Вынюхивает он что ли соседние пути и сравнивает их потом друг с другом? В некотором смысле так и происходит. Эту способность света нельзя понять в рамках геометрической оптики, поскольку она связана с понятием длины волны; длина волны, грубо говоря, есть тот отрезок впереди лежащего пути, который свет может «почувствовать» и сравнить с соседними путями. Этот факт трудно продемонстрировать на опыте со светом, так как длина волны света чрезвычайно мала. Но радиоволны с длиной волны, скажем, 3 см, «видят» намного дальше. Предположим, имеется источник радиоволн, детектор и экран со щелью, как показано на фиг. 26.13; при этих условиях лучи будут проходить из S в D, поскольку это прямолинейная траектория, и даже если сузить щель, лучи все равно пройдут. Но если теперь отодвинуть детектор в точку D', то при широкой щели волны не пойдут из S в D', потому что они сравнят близлежащие пути и скажут: «Нет, друг мой, все эти пути требуют другого времени». С другой стороны, если оставить только узенькую щелку и таким образом помешать волнам выбирать путь, то окажутся годными уже несколько путей и волны пойдут по ним! Если щель узкая, в точку D' попадет больше излучения, чем через широкую щель! Такой же опыт возможен со светом, но в большом масштабе его проделать трудно. Этот эффект, однако, можно наблюдать в следующих простых условиях. Найдите маленький и яркий источник света, например уличный фонарь, где-нибудь в конце улицы или отражение солнца от колеса автомобиля. Поставьте перед глазами два пальца, оставив для света узенькую щель, и постепенно сближайте пальцы, пока щель полностью не исчезнет. Вы увидите, что свет, который вначале казался крохотной точкой, начнет расплываться и даже вытянется в длинную линию. Происходит это потому, что между пальцами оставлена лишь очень маленькая щель и свет не идет, как обычно, по прямой, а расходится под некоторым углом и в глаз попадает с разных направлений. Если вы будете достаточно внимательны, то заметите еще боковые максимумы и своеобразную кайму по краям.
Кроме того, само изображение будет окрашено. Все это будет в свое время объяснено, а сейчас этот опыт (а его очень легко проделать) просто демонстрирует, что свет не всегда распространяется по прямой.
§ 6. Квантовый механизм
В заключение дадим очень грубую картину того, что происходит на самом деле, как протекает весь процесс распространения света с квантовомеханической точки зрения, которую сейчас считают самой правильной (разумеется, наше описание будет носить лишь качественный характер). Исследуя свет на пути из А в В (см. фиг. 26.3), можно обнаружить, что он вовсе не представляет собой волны. Лучи света, оказывается, состоят из фотонов, которые можно реально зарегистрировать с помощью фотонного счетчика; они заставляют его щелкать. Яркость света пропорциональна среднему числу фотонов, пролетающему в 1 сек, а нас интересует вероятность попадания фотона из А в В при отражении от зеркала. Правило вычисления этой вероятности весьма необычно. Выберем какой-нибудь путь и найдем время на этом пути; затем образуем комплексное число или нарисуем маленький комплексный вектор rеiq, где угол q пропорционален времени. Число оборотов вектора в секунду — это частота света. Возьмем теперь другой путь, и пусть он занимает другое время; тогда соответствующий ему вектор повернется на угол, отличный от первого (вспомним, что угол всегда пропорционален времени). Переберем все возможные пути и сложим векторы для каждого из них, тогда квадрат длины суммарного вектора определит вероятность прохождения фотона из начальной точки в конечную!