Фейнмановские лекции по физике. 3. Излучение. Волны. Кванты

Фейнман Ричард Филлипс

(27.7)

Особенно прост случай, когда поверхности близки друг к другу и ошибками

из-за конечной толщины можно пренебречь. Рассмотрим линзу, изображенную на фиг. 27.6, и поставим такой вопрос: каким условиям должна удовлетворять линза, чтобы пучок из О фокусировался в О'? Пусть свет проходит точно через край линзы в точке Р. Тогда (пренебрегая временно толщиной линзы Т с показателем преломления n₂) излишек времени на пути ОРО' будет равен (n₁/i²/2s)+(n₁h²/2s'). Чтобы уравнять время на пути ОРО' и время на прямолинейном пути, линза должна обладать в центре такой толщиной Т, чтобы она задер­живала свет на нужное время. Поэтому толщина линзы Т долж­на удовлетворять соотношению:

(27.8)

Можно

еще выразить Т через радиусы обеих поверхностей R_I и R₂. Учитывая условие 3 (приведенное на стр. 27), мы на­ходим для случая R₁<R₂ (выпуклая линза)

(27.9)

Отсюда получаем окончательно

(27.10)

Отметим, что, как и раньше, когда одна точка находится на бес­конечности, другая будет расположена на расстоянии, которое

мы называем фокусным расстоянием f. Величина f определяется равенством

(27.11)

где n=n₂/n₁

В противоположном случае, когда s стремится к бесконеч­ности, s' оказывается на фокусном расстоянии /'. Для нашей линзы фокусные расстояния совпадают. (Здесь мы встречаемся еще с одним частным случаем общего правила, по которому отношение фокусных расстояний равно отношению показателей преломления тех двух сред, где лучи фокусируются. Для нашей оптической системы оба показателя одинаковы, а поэтому фокусные расстояния равны.)

Забудем на время формулу для фокусного расстояния. Если вы купили линзу с неизвестными радиусами кривизны и каким-то показателем преломления, то фокусное расстояние можно просто измерить, собирая в фокус лучи, идущие от удаленного источника. Зная f, удобнее переписать нашу формулу сразу в терминах фокусного расстояния:

(27.12)

Давайте посмотрим теперь, как работает эта формула, и что из нее получается в разных случаях. Во-первых, если одно из расстояний s и s' бесконечно, другое равно f. Это условие озна­чает, что параллельный пучок света фокусируется на расстоянии / и может использоваться на практике для определения f. Инте­ресно также, что обе точки движутся в одну сторону. Если одна идет направо, то и вторая движется в ту же сторону. И наконец, если s и s' одинаковы, то каждое из них равно 2f.

§ 4. Увеличение

До сих пор мы рассматривали процесс фокусировки только для точек, лежащих на оси. Построим теперь изображение объектов, несколько смещенных в сторону от оси; это поможет нам понять явление увеличения. Если с помощью линзы сфокусировать свет от небольшой нити на экран, то мы увидим изображение той же нити, только несколько большего или мень­шего размера по сравнению с настоящей. Отсюда мы заключаем, что свет попадает в фокус от каждой точки нити. Чтобы получше в этом разобраться, рассмотрим линзу, схематически изображенную на фиг. 27.7. Нам известно, следующее:

1) каждый луч, параллельный оси, фокусируется по другую сторону линзы в точке, называемой фокусом и располо­женной на расстоянии f от линзы;

2) каждый луч, приходящий из фокуса по одну сторону лин­зы, выходит с другой стороны параллельно оси.

Фиг. 27.7. Геометрическое по­строение изображения от тонкой линзы.

С помощью только этих фактов мы докажем формулу (27.12) геометрическим путем. Пусть объект находится на расстоянии x от фокуса и его высота есть у. Мы знаем, что луч PQ отклоняет­ся и пройдет через фокус R по другую сторону линзы. Если свет от точки Р фокусируется линзой, достаточно определить путь еще одного луча, и тогда фокус будет расположен в точке пере­сечения двух лучей. Нужно только умело выбрать направление второго луча. Вспомним, что параллельный луч проходит через фокус, и наоборот: луч, проходящий через фокус, выходит па­раллельно оси! Поэтому проведем луч РТ через U. (Правда, фокусируемые лучи могут быть гораздо тоньше, чем начерченные нами, но их труднее изобразить, поэтому оставим нашу прежнюю схему.) Поскольку луч параллелен оси, проведем TS параллель­но XW. Пересечение S и есть искомая точка. Отсюда мы полу­чаем нужную высоту и правильное расстояние. Обозначим вы­соту через y', а расстояние до фокуса через x'. Теперь можно вы­вести формулу для линзы. Из подобных треугольников PVU и TXU находим

(27.13)

Из треугольников SWR и QXR получаем

(27.14)

Разрешая оба равенства относительно y'Ѕy, находим

(27.15)

Оно гораздо изящнее формулы (27.12). Мы рекомендуем чита­телю доказать, что при s=x+f и s' =x'+f равенства (27.12) и (27.16) совпадают.

§ 5. Сложные линзы

Опишем кратко без вывода основные свойства системы линз. Как исследуют систему нескольких линз? Очень просто. Начнем с некоторого объекта и определим его изображение, даваемое первой линзой, пользуясь формулами (27.16), (27.12) или любой эквивалентной формулой или, наконец, изобразив все это графи­чески. Итак, мы получим первое изображение. Затем мы будем рассматривать это изображение как источник для следующей линзы и, чтобы найти новое изображение, воспользуемся второй линзой с любой заданной фокусной длиной. Проделаем такую процедуру последовательно для всей системы линз. Вот и все. В принципе здесь нет ничего нового, поэтому мы не будем вхо­дить в подробности. Однако очень интересный результат полу­чается, когда свет входит и выходит из системы линз в одну и ту же среду, например в воздух. Любое оптическое устройство — будь то телескоп или микроскоп с произвольным количеством линз и зеркал — обладает следующим интересным свойством. Имеются две плоскости, называемые главными плоскостями системы (часто они расположены поблизости от внешних поверх­ностей первой и последней линзы), которые обладают следую­щими свойствами: 1) свет, входящий параллельным пучком с одной стороны, собирается с другой стороны в фокус, отстоящий от второй главной плоскости на фокусное расстояние (как будто вместо системы имеется тонкая линза, совпадающая со второй главной плоскостью); 2) свет, входящий параллельным пучком с другой стороны, собирается в фокус на расстоянии / от первой главной плоскости, как будто там опять-таки находится тонкая линза (фиг. 27.8).

Само собой разумеется, если определить, как и раньше, рас­стояние х, х' и у, у', то формула (27.16) для тонкой линзы будет применима и в этом общем случае, только фокусные расстояния нужно отсчитывать от главных плоскостей, а не от центра линзы. Для тонкой линзы главные плоскости совпадают. Получается так, как если бы мы взяли тонкую линзу, разрезали её на дольки и разнесли их на некоторое расстояние, а в результате ничего не изменилось. Каждый входящий луч немедленно выскакивает по другую сторону от второй плоскости! Главные плоскости и фокусные расстояния находят либо вычислением, либо опытным путем; этим исчерпывается описание свойств оптической системы.

Фиг. 27.8. Главные плоскости оптической системы.

Весьма интересно, что результат для большой и сложной оптической системы оказался таким простым,

§ 6. Аберрация

Пока вы еще не успели прийти в восхищение от такой вели­колепной штуки, как линза, я должен успеть сказать об ее серьезных недостатках, которые мы не могли заметить раньше, поскольку ограничились рассмотрением параксиальных лучей. Реальная линза обладает конечной толщиной и, вообще говоря, обнаруживает свойства аберрации. Например, луч, направлен­ный вдоль оси, обязательно пройдет через фокус. Луч, близкий к оси, будет еще проходить через фокус, но более далекие лучи начнут от него отклоняться: близкие ненамного, а крайний луч уже на большое расстояние. В результате вместо точечного изоб­ражения получается расплывчатое пятно. Этот эффект называет­ся сферической аберрацией, потому что он возникает в резуль­тате использования сферических поверхностей вместо поверх­ностей правильной формы. Для каждого данного расстояния от объекта до линзы эффект аберрации можно устранить, изменив форму линзы или взяв несколько линз с таким расчетом, чтобы аберрации отдельных линз взаимно уничтожались.

Линзы страдают еще одним недостатком: свет разного цвета имеет разную скорость, т. е. разные показатели преломления в стекле, а поэтому фокусное расстояние для разных цветов раз­ное. Изображение белого пятна получается цветным, так как, когда в фокусе красный цвет, синий оказывается вне фокуса, и наоборот. Это явление называется хроматической аберрацией.

Бывают и другие искажения. Если объект находится не на оси, то добиться четкого фокуса невозможно. Легче всего это проверить, наклонив наведенную на фокус линзу так, чтобы в нее попадали лучи под большим углом к оси. Тогда изобра­жение сильно расплывется и может случиться, что ни одного четко сфокусированного места не останется. Таким образом, линзы страдают рядом искажений, и обычно оптик-конструктор старается их выправить, соединяя по нескольку линз, с тем что­бы скомпенсировать искажения отдельных линз.