Газета "Своими Именами" №18 от 21.12.2010
Шрифт:
Всякая информация воспринимается только в некотором смысловом, звуковом, визуальном, культурологическом или историческом, иными словами, опять же в информационном контексте, т.е. в условиях избыточности, порождаемым усилием воли познающего субъекта. В этом смысле информация абсолютно недоступна автомату (из-за отсутствия у того воли).
Представляется очевидным, что порождение информации является процессом включения некоторых новых данных в обладающую избыточностью культурную или языковую среду, обладающую к тому же свойством расширяемости. Причём наличие избыточности и позволяет восстанавливать ранее утерянные знания и взламывать шифры.
Применительно к радиосвязи наличие избыточности позволяет осуществлять подпороговый приём радиосигналов. Именно это обстоятельство, а не селективная способность человеческого уха даёт возможность принимать сигналы на допороговом уровне. Человек обладает способностью к синтезу (созданию) избыточности, неимоверно превосходя здесь автоматы.
Но увы, в природе заведено так, что одни способны извлекать из наблюдений знания, создавая информацию и синтезировать необходимую для этого избыточность, другие (лишённые способности к такому синтезу) могут порождённую информацию лишь использовать, в частности, для производства продукции, а третьи в состоянии только потреблять произведённую при этом продукцию. С такой точки зрения шифры являются одним из инструментов воздействия на производство и потребление и по этой причине государство всячески пытается контролировать их разработку и применение.
Кстати, государство это всего лишь правящий класс, получивший полномочия от другого класса (или классов) или возникший в процессе самовыдвижения в том числе и извне. Если такое государство и учитывает интересы других классов, то лишь в той мере, в какой это необходимо ему для сохранения власти. Не более...
Но шифры это не только инструмент управления, но ещё и предмет науки, которая может обслуживать, а может и не обслуживать... власть. И это потому, что сама наука является социальным, а не природным явлением со своими и только ей присущими законами, которые, к тому же, не являются раз и навсегда предопределёнными.
Наука и сама неоднородна. Официальная наука состоит на службе государства, т.е. власти. Плодоносит идеями она крайне скудно, зато потребляет множество ресурсов с большой пользой для себя и минимальной пользой для остальных, включая власть придержащих.
Для иллюстрации сошлюсь на пример безработного математика Александра Перельмана, решившего какую-то там по счёту (18-ю, что ли) проблему А.Л. Пуанкаре - величайшего философа, физика и математика конца позапрошлого - начала прошлого веков. Между прочим, до конца жизни считавшего себя горным инженером. Как тут ни вспомнить и П.И. Чайковского, опять же горного инженера.
Неофициальная наука за науку не считается. И слава Богу. Но это не только всякое шарлатанство и знахарство, как то чаще всего и бывает, но ещё и естествознание, т.е. знание сути и природы вещей как таковых, а не в связи с чем-то, к тому же имеющим денежный эквивалент.
Раз вспомнив о математиках, продолжим в том же духе, задавшись вопросом “Что же такое криптография?” с математической точки зрения. Ответ на этот вопрос, в общем-то, известен. “Криптография - раздел математики, занимающийся труднообратимыми преобразованиями” и только. Остаётся лишь выяснить, что же это за преобразования.
Увы, ясности тут немного. И чтобы навести тень на плетень, такие преобразования часто отождествляют с трудновычислимыми, что, очевидно, не одно и то же. Более того, неизвестно, является ли свойство трудной обратимости или вычислимости свойством самого преобразования или это следствие нашего неумения производить подобные вычисления, т.е. отыскивать эффективные алгоритмы решения соответствующих задач.
История даёт множество примеров эффективных алгоритмов для решения считавшихся ранее трудноразрешимыми задачами. Достаточно вспомнить шифр Г.Ю.Цезаря (вообще-то, просто Гай Юлия, поскольку цезарями древние римляне называли всех своих императоров) или разработанный ещё в средние века частотный анализ шифров простой замены.
Показателен и пример выдающегося впоследствии физика и математика Карла Фридриха Гаусса, тогда ещё школьника. Как-то учителю понадобилось покинуть класс. Чтобы занять учеников на время своего отсутствия, он предложил им найти сумму натуральных чисел от 1 до 100. Не успел учитель открыть дверь, как маленький Гаусс, опередив его, сказал, что ему уже известен результат.
Так был открыт метод суммирования арифметических прогрессий более простой, чем прямое сложение. Основанием же метода стал известный и во времена Гаусса эффективный алгоритм умножения “в столбик”. Не будь этого алгоритма, открытие Гаусса не имело бы большого смысла.
Известно, что всякое умножение чисел сводится к их суммированию. Но заслуга Гаусса в том, что он применил умножение для вычисления суммы.
Ещё один достаточно пародоксальный пример связан с анализом. В классическом анализе справедливо равенство 1=0.999(9), которое принципиально неверно в нестандартном анализе, где 0.999(9)<1, а разница 1-0.9999(9) представляет собой бесконечно малое значение, т.е. число в смысле нестандартного анализа.
Правда, в нестандартный анализ подобные бесконечно малые числа вводятся аксиоматически. Причём совокупность аксиом такого анализа столь же непротиворечива, что и классического. Увы, и столь же неполна в смысле К. Гёделя.
Не ясна природа (да и само существование) трудной обратимости или вычислимости даже для конечных алгебраических структур (типа полей Э. Галуа), к которым теорема К.Гёделя, вроде бы, неприменима.
Непонятно и является ли обращение близкой к вырожденной матрицы труднообратимым преобразованием или нет. И это тогда, как взлом шифра часто приводит именно к таким матрицам, к тому же очень большого размера.
Ещё одна и, возможно, самая важная особенность подобных матриц в том, что они сами и им обратные состоят только из целых чисел (типично 0 и 1), а все операции производятся по модулю соответствующего числа (обычно 2). Иначе говоря, используется модульная арифметика. Проблема вырожденности и обратимости при этом принимает весьма специфическую форму, т.к. ошибки округления здесь полностью отсутствуют, а потому и само понятие обратимости принимает другой смысл.
О связи труднообратимых и трудноразрешимых задач говорит пример точных вычислений корней алгебраических уравнений со многими тысячами и даже десятками тысяч двоичных (или десятичных) знаков. Действительно, если мы умеем эффективно производить такие вычисления, то соответствующая последовательность бит может служить неплохой гаммой шифра. Трудоёмкость обратимости в этом случае связана с необходимостью перебора великого множества алгебраических уравнений с разнообразными коэффициентами в поисках использованного для зашифровывания.