Истина и красота. Всемирная история симметрии.
Шрифт:
Почему? На каждом шаге вдоль по цепочке из степеней двойки новая числовая система теряет некоторую часть структуры. Комплексные числа не упорядочены вдоль прямой. Кватернионы не подчиняются алгебраическому правилу ab = ba —закону коммутативности. Октонионы не подчиняются закону ассоциативности (ab)c = a(bc), хотя и удовлетворяют закону альтернативности (ab)a = a(ba).Седенионы не образуют алгебру с делением и не имеют мультипликативной нормы.
Все это носит намного более фундаментальный характер, чем просто факт «отказа» в процессе Кэли-Диксона. В 1898 году Гурвиц доказал, что единственные нормированные алгебры с делением — это четыре наших старых друга. В 1930 году Макс Цорн доказал, что те же четыре алгебры являются единственными
Происходящее — из разряда тех вещей, которые нравятся чистым математикам с их платоническими пристрастиями. Но единственными по-настоящему важными для остального человечества случаями являются, по-видимому, вещественные и комплексные числа, которые имеют широкие практические применения. Кватернионы проявили себя в ряде полезных, пусть даже эзотерических приложений, но октонионы не попадали в свет рампы прикладной науки. Они, казалось, являют собой некий тупик чистой математики, подобие претенциозной интеллектуальной чепухи, которой и следует ожидать от людей, витающих в облаках.
История математики показывает снова и снова, что опасно отбрасывать всякие яркие или красивые идеи лишь на том основании, что они вроде бы не приносят очевидной пользы. К сожалению, это не мешает людям пренебрегать такими идеями, часто именно потому, что они прекрасные или яркие. Чем более «практическими» люди себя полагают, тем в большей степени они склонны поливать презрением математические концепции, возникающие из абстрактных проблем и изобретенные «ради самих себя», а не из проблем реального мира. Чем изящнее концепция, тем больше презрения, как будто бы изящества самого по себе следует стыдиться.
Такие декларации бесполезности — заложники судьбы. Одно-единственное новое применение, один шаг вперед в науке — и презираемая концепция может внезапно, как выпущенное из пушки ядро, приземлиться в центре сцены, более не бесполезная, а, наоборот, сущностно важная.
Таким примерам нет числа. Сам Кэли говорил, что его матрицы совершенно бесполезны, но сегодня ни одна ветвь науки не могла бы без них функционировать. Кардано объявил, что комплексные числа «настолько же деликатны, насколько бесполезны», но ни один инженер или физик не мог бы работать в мире, в котором отсутствовали бы комплексные числа. Годфри Хэролду Харди — ведущему английскому математику 30-х годов двадцатого века — безмерно импонировала мысль, что теория чисел не имеет никаких практических применений и, в частности, не может использоваться в военных целях. Сегодня теория чисел применяется для шифровки сообщений — она жизненно важна для безопасности коммерческих операций, проводимых через Интернет, и еще более важна для военных.
Подобное же происходит и с октонионами. Они еще могут войти в обязательный курс математики и даже, скорее, физики. Постепенно становится ясной центральная роль октонионов в теории групп Ли — в особенности тех, что представляют интерес для физики, и в первую очередь пяти исключительных групп Ли G 2, F 4, E 6, E 7и E 8, имеющих загадочные размерности 14, 52, 78, 133 и 248. Само их существование представляет собой загадку. Один доведенный до белого каления математик назвал их создание грубым порождением злонамеренного божества.
Любители природы получают удовольствие, вновь и вновь посещая хорошо им известные красивые места, откуда можно наслаждаться прекрасным видом — от середины водопада, с уступа, уводящего в сторону от нахоженной тропы, или на утесе, с которого открывается вид на голубой океан. Подобным же образом математики любят возвращаться к старым темам и рассматривать их с новых точек зрения. По мере смены перспективы в наших взглядах на математику удается дать новые интерпретации старым концепциям, что открывает новые возможности. Это вовсе не вопрос математического туризма, когда с открытым ртом таращатся на нечто невыразимо удивительное, рассматривая его под разными углами. Таким способом возникают новые мощные способы решения старых и новых задач. Ни в каком другом месте эта тенденция не проявилась сильнее и не была более информативной, чем в теории групп Ли.
Напомним, что Киллинг организовал почти все простые группы Ли в четыре
Теперь мы знаем, что все эти семейства представляют собой вариации на одну и ту же тему. Они состоят из всех nx n-матриц, удовлетворяющих некоторому конкретному алгебраическому условию — они «косо-эрмитовы» [119] . Единственное различие состоит в том, что для получения ортогональных алгебр Ли надо использовать матрицы из вещественных чисел, для получения унитарных алгебр Ли — матрицы из комплексных чисел, а для получения симплектических алгебр Ли — матрицы из кватернионов. Эти алгебры образуют бесконечные семейства, потому что матрицы могут иметь какой угодно размер. Чудесно видеть, что алгебры Ли, соответствующие естественным преобразованиям в гамильтоновом описании механики — первом великом открытии Гамильтона, — допускают естественное описание в терминах кватернионов — его последнего великого открытия.
119
Если речь идет об алгебрахЛи. Для групп Ли соответствующее условие выглядит по-другому. (Примеч. перев.)
Но теперь самое время задуматься, а что же происходит, если в качестве матричных элементов используются октонионы. К сожалению, из-за отсутствия ассоциативности не удается получить новое бесконечное семейство простых алгебр Ли. На самом деле лучше бы сказать «к счастью», поскольку мы ведь знаем, что такого семейства не существует. Но если играть с октонионами в правильные игры, да еще заручиться поддержкой закона малых чисел, можно получить самые настоящие алгебры Ли.
Первый намек на то, что так может случиться, появился в 1914 году, когда Эли Картан ответил на очевидный вопрос и получил удивительный ответ. Руководящий принцип в математике и физике состоит в том, что если имеется некоторый интересный объект, то первое, что про него надо спросить, — это какова его группа симметрии. Группа симметрии системы вещественных чисел тривиальна и состоит только из одного тождественного преобразования — преобразования «не делаем ничего». Группа симметрии системы комплексных чисел содержит тождественный элемент и одну зеркальную симметрию, которая преобразует iв - i. Группой симметрии кватернионов является SU(2), которая почти совпадаете группой вращений SO(3) в трехмерном вещественном пространстве.
Вопрос, который задал Картан, — это «Какова группа симметрии октонионов?». Если вы — некий Картан, то ответ на этот вопрос вам известен. Группой симметрии октонионов является наименьшая из исключительных простых групп Ли — та, которая известна под именем G 2. 8-мерная система октонионов имеет 14-мерную группу симметрии. Исключительная нормированная алгебра с делением непосредственно связана с первой из исключительных групп Ли.
Чтобы двигаться дальше, нам надо подружиться с одной идеей, восходящей к эпохе Возрождения — но только не к математикам, а к художникам того времени.
В те дни математика и искусства были довольно близки друг к другу — не только в архитектуре, но и в живописи. Художники времен Возрождения открыли, как применить геометрию к перспективе. Они нашли геометрические правила для изображения на бумаге таким образом, чтобы объекты и пейзажи выглядели как трехмерные. При этом они изобрели новый и удивительно красивый вид геометрии.
Работы более ранних художников часто не выглядят, на наш взгляд, реалистичными. Даже такой художник, как Джотто (Амброджио Бондоне), мог создавать работы почти фотографического качества, но при более внимательном рассмотрении оказывалось, что перспектива в них не совсем последовательна. Лишь Филиппо Брунелески в 1425 году сформулировал последовательный математический метод получения точной перспективы и передал свое знание другим художникам. В 1435 году вышла первая книга по данному предмету — Delia PitturaЛеоне Альберти.