Истина и красота. Всемирная история симметрии.
Шрифт:
Метод был доведен до совершенства в живописи Пьеро делла Франческа, который был также замечательным математиком. Пьеро написал три книги по математике перспективы. И нельзя не упомянуть Леонардо да Винчи, книга которого Trattato della Pitturaначинается с утверждения «Пусть никто, не являющийся математиком, не читает мои работы», что перекликалось с лозунгом «Да не войдет сюда ни один не знающий геометрии», который, согласно легенде, помещался над входом в Платоновскую Академию в Древней Греции.
Суть перспективы состоит в понятии «проекции», согласно которой трехмерный пейзаж переносится на плоский лист бумаги таким способом, что (в идеале) каждая точка пейзажа соединяется с глазом наблюдателя, после чего надо определить, где эта линия пересекает лист бумаги. Ключевая идея состоит в том, что проекции искажают формы некоторыми способами, которых не допускает Эвклид. В частности, проекция
Мы наблюдаем такой эффект каждый день. Стоя на мосту и глядя на длинную прямую полосу уходящей вдаль железной дороги или автотрассы, мы видим, что прямые линии сходятся и, как кажется, пересекаются на горизонте. В действительности прямые остаются на одном и том же расстоянии друг от друга, но из-за перспективы воспринимаемое нами расстояние уменьшается по мере того, как прямая уходит от нас. В математической идеализации бесконечно длинные параллельные прямые на плоскости также пересекаются, если их подходящим образом спроектировать. Но место, где они пересекаются, не является образом какой бы то ни было точки в плоскости — оно и не может им быть, поскольку на плоскости прямые не пересекаются. Это кажущийся «горизонт», в направлении к которому продолжаются прямые и плоскость. С точки зрения самой плоскости горизонт бесконечно удален, но его проекция — полностью осмысленная прямая, проходящая через середину картины.
Эта прямая известна как «прямая в бесконечности». Как и квадратный корень из минус единицы, это фикция, но исключительно полезная фикция. Возникающая таким образом геометрия называется проективной геометрией, и, в духе эрлангенской программы Клейна, это геометрия свойств, которые не меняются при проекциях. Проективную геометрию использует каждый художник, который рисует изображения с перспективой, с линией горизонта и с «точкой схода», для того чтобы изображаемые объекты выглядели как реальные.
Как проекция заставляет параллельные прямые пересекаться на горизонте.
Геометрия проективной плоскости исключительно изящна. Через любые две точки можно провести единственную прямую, равно как в эвклидовой геометрии. Но, кроме того, любые две различные прямые пересекаются, причем ровно в одной точке. Параллельных, которые так занимали Эвклида, не существует.
Если это напоминает вам плоскость Фано, то вы совершенно правы. Плоскость Фано — это конечная проективная геометрия.
От перспективы Возрождения до исключительных групп Ли остается теперь только небольшой шаг. Проективная плоскость, которая неявно присутствовала в методах Альберти, явно возникла в новой геометрии. В 1636 году Жирар Дезарг — армейский офицер, позднее ставший архитектором и инженером — опубликовал «Предполагаемый набросок попытки рассматривать результаты пересечения плоскости конусом». Звучит это как название книги о конических сечениях, и книга таковой и была, но вместо использования традиционной греческой геометрии Дезарг использовал проективные методы. В точности как эвклидову геометрию можно превратить в алгебру, используя декартовы координаты (x, y)— пару вещественных чисел, — так и проективную геометрию оказалось возможным превратить в алгебру, если разрешить буквам xили yпринимать бесконечное значение (ситуация хитрым способом ставится под контроль таким образом: рассматриваются отношения трех координат и считается, что 1 : 0 = бесконечность).
То, что можно делать с вещественными числами, можно делать и с комплексными, так что у нас появляется комплексная проективная плоскость. А если тут все работает, то почему бы не попробовать кватернионы или октонионы?
Здесь возникают сложности. Очевидные методы не работают из-за отсутствия коммутативности. Однако в 1949 году математический физик Паскуаль Жордан нашел осмысленный способ построить октонионную проективную плоскость вещественной размерности 16. В 1950 году Арман Борель — математик, специализировавшийся в теории групп — доказал, что вторая исключительная группа Ли F 4является группой симметрии октонионной проективной плоскости — вполне в духе комплексной плоскости, но только образованной из двух 8-мерных «линеек», деления на которых — октонионы, а не вещественные числа.
Итак, нашлось октонионное объяснение двух из пяти исключительных групп Ли. А что насчет трех оставшихся — E 6, E 7и E 8?
Взгляд
Строки и столбцы магического квадрата соответствуют четырем нормированным алгебрам с делением. Если заданы любые две нормированные алгебры с делением, можно посмотреть в соответствующую строку и соответствующий столбец и найти в магическом квадрате — который определяет результат согласно не столь уж простому математическому предписанию — некоторую группу Ли. Появление некоторых из этих групп понять несложно; например, группа Ли, соответствующая строке с вещественными числами и столбцу с вещественными числами, есть группа SO(3) вращений в трехмерном пространстве. Если и строка, и столбец соответствуют кватернионам, то мы получаем ничуть не менее близкую математикам группу SO(12) вращений в двенадцатимерном пространстве. Если теперь взять октонионную строку или октонионный столбец, то там будут стоять исключительные группы Ли F 4, E 6, E 7и E 8. [120] Отсутствующая здесь исключительная группа G 2также тесно связана с октонионами — как мы уже видели, она представляет собой их группу симметрии.
120
Не удержимся и приведем магический квадрат в явном виде, но без дополнительных пояснений, за исключением того, что здесь фигурируют не группы, а алгебры Ли. (Прим. перев.)
| R | C | H | O | |
|---|---|---|---|---|
| R | SO(3) | SU(3) | Sp(3) | F 4 |
| C | SU(3) | SU(3) | SU(6) | E 6 |
| H | Sp(3) | SU(6) | SO(12) | E 7 |
| O | F 4 | E 6 | E 7 | E 8 |
Итак, общее мнение состоит в том, что исключительные группы Ли существуют потому, что божество в своей мудрости дозволило существование октонионов. Надо было сразу догадаться. Как заметил Эйнштейн, господь изощрен, но не злонамерен. Все пять исключительных групп Ли являются симметриями различных октонионных геометрий.
Около 1956 года российский геометр Борис Розенфельд, размышляя, быть может, о магическом квадрате, предположил, что три оставшиеся исключительные группы E 6, E 7и E 8также являются группами симметрии проективных плоскостей. Однако вместо октонионов здесь надо использовать следующие структуры: