Избранные научные труды
Шрифт:
x
2
6
…-
–
1
(n-1)!n!
3
1·2
+
5
2·3
+…
2n-1
(n-1)·n
x
2
2n
…+
+
2ln +2ln
x
2
– 1
x
2
2
+
1
1!2!
x
2
4
+
+
1
1!3!
x
2
6
+…+
1
(n-1)!n!
x
2
2n
+…
(= 0,5772 ... —
f(x)
~
2
1/2
e
– x
x
1/2
1+
1·3
8x
–
1·3·5
2!
1
8x
^2
+
+
1·3·1·3·5
3!
1
8x
^3
– …+
(-1)
n+1
1·3·5…(2n-3)·1·3…(2n-1)
n!(8x)n
.
Для составляющей силы, действующей на электрон в направлении, параллельном направлению движения частицы, имеем (см. рис. 1 на стр. 68)
F
2
=
eE
AB
AC^3
=
eEVt
(V^2t^2+p^2)3/2
=
m(t)
.
Для энергии, передаваемой электрону при столкновении, получаем таким же образом, как и раньше (учитывая, что m(t) — нечётная функция t),
Q
2
=
m
2
–
sin nz
(z)
dz
2
.
Подставляя выражение для (z), находим
Q
2
=
e^2
2m
E^2V^2
–
z sin nz dz
(V^2z^2+p^2)3/2
,
или
Q
2
=
2e^2E^2
mV^2p^2
g^2
np
V
,
где
g(x)
=-
1
2
–
z sin xz
(z^2+1)3/2
dz
=
x
2
–
cos xz
(z^2+1)1/2
=
f'(x)
;
здесь f(x)
Энергия движения электрона в направлении, перпендикулярном направлению движения частицы, всегда меньше для связанного электрона, чем для свободного. Это соотношение, однако, не справедливо для движения электрона в направлении движения частицы.
Для полной энергии, переданной электрону при столкновении, получаем
Q
=
Q
1
+Q
2
=
2e^2E^2
mV^2p^2
·P
np
V
,
(2)
где P(x)=f^2(x)+g^2(x) равно 1 при x=0 и при больших x очень быстро убывает с ростом x. Заметим, что при x=0 P'(x)=0.
Рассмотрим теперь прохождение частицы через вещество. Пусть N —число атомов в единице объёма, и каждый атом содержит r электронов, частота собственных колебаний которых равна n. Пусть, далее, a константа, много большая , но малая по сравнению с V/n (см. стр. 67). Тогда для полной энергии dT, переданной электронам частицей, прошедшей путь dx, имеем
dT
=
Nr
a
0
Q
0
2p
dp
+
a
Q
2p
dp
dx
.
C помощью формул (1) и (2) получаем отсюда
dT
=
4e^2E^2Nr
mV^2
a
0
p dp
p^2+^2
+
a
1
p
P
np
V
dp
dx
.
Пренебрегая величинами порядка (/a)^2 (см. выше), имеем
dT
=
4e^2E^2Nr
mV^2
ln
a
+
an/V
1
z
P(z)
dz
dx
=
=
4e^2E^2Nr
mV^2
ln
a
–
ln
an
V
·
P
an
V
–
an/V
ln z
·
P'(z)
dz
dx
.
В соответствии с нашим предположением an/V очень мало. Поэтому мы можем положить P(an/V)=1 и в дальнейшем принять в качестве пределов интегрирования 0 и (так как P'(0)=0).
Полагая
0
ln z