Избранные научные труды

Бор Нильс Хенрик Давид

W

u

z

=-

p

x

,

W

v

z

=-

p

y

,

u

W

x

+v

W

y

+w

W

z

=-

p

z

.

(3)

Вводя полярные координаты r и (x=r cos , y=r sin ), а также радиальную и тангенциальную составляющие скорости с помощью соотношений

u=cos - sin ,

v=sin + cos ,

а также имея в виду,

что W зависит только от радиуса, уравнение (3) можно представить в виде

W

z

=-

p

r

,

W

z

=-

1

r

p

,

W

r

+W

z

=-

p

z

,

(4)

а уравнение (2) — в виде

r

+

r

+

1

r

+

z

=0.

(5)

Полагая теперь, что , , и p имеют вид f(r)e^in+ikz, из уравнений (4) и (5) находим

^2p

r^2

+

p

r

1

r

–

2

W

W

r

– p

n^2

r^2

+k^2

=0.

(6)

В случае W=const решение уравнения, удовлетворяющее условию конечности при r=0, имеет вид

p

₀

=

AJ

_n

(ikr)

e

^in+ikz

,

(7)

где J_n функция Бесселя n-го порядка. Полагая

p=

p

₀

exp

_r

⁰

(r)dr

,

(8)

из уравнения (6) получаем

d

dr

+^2+

1

r

+

2

p

₀

p

₀

r

–

2

W

W

r

–

2

p

₀

W

p

₀

W

r

r

=0.

(9)

Положим теперь, что W=c+, где c — средняя скорость струи, а — величина, малая по сравнению с этой скоростью. В этом случае мало, и, пренебрегая членами порядка (/c)^2, мы находим из (9)

d

dr

+

1

r

+

2

p

₀

p

₀

r

–

2

p

₀

d

cp

₀

r

dr

=0.

(10)

Численное

значение |ikr|, соответствующее условиям эксперимента, будет очень малым (длина волны велика по сравнению с диаметром струи). Поэтому, чтобы не усложнять формулы, мы будем при вычислении использовать только первый член разложения J_n(ikr). При этом (1/p₀)p₀/r и решение уравнения (9) принимает вид

=

2n

c

r

^{– (2n+1)}

_r

⁰

d

dr

r

²ⁿ

dr

+C

.

Учитывая конечность при r=0, находим, что C=0. Интегрируя по частям, получаем

=

2n

cr

–

4n²

cr²ⁿ⁺¹

_r

⁰

r

^2n-1

dr

.

(11)

Предположим, что уравнение поверхности имеет вид

r-a==

B

e

^in+ikz

.

Общие граничные условия дают при этом

D

Dt

(r-a-)

=

r

+

+w

z

(r-a-)

=0,

откуда мы получаем, пренебрегая величинами того же порядка, что и в случае уравнений (3)

– W

z

=0,

=

i

Wk

.

Подобным же образом, обозначая через R₁ и R₂ главные радиусы кривизны, мы имеем далее

1

R₁

+

1

R₂

=

1

a

–

a^2

–

1

a^2

^2

^2

–

^2

z^2

=

1

a

–

i(n^2-1+k^2a^2)

a^2Wk

.

Обозначая коэффициент поверхностного натяжения через T, мы находим следующее динамическое условие на поверхности:

T

1

R₁

+

1

R₂

– p

=const.

Отсюда находим (в тех же приближениях, что и раньше), используя формулу (4):

T(n^2-1-k^2a^2)

a^2k^2W^2

p

r

– p

r=a

=0.

(12)

Из (12) с помощью (7) и (8) получаем

k^2

=

T