Избранные научные труды, Бор Нильс Хенрик Давид

Избранные научные труды

на обложку

Бор Нильс Хенрик Давид

Шрифт:

iak

(iak)

a^3 J

n (iak)

(n^2-1-k^2a^2)

W^2

p0/r

r=a

(13)

Наконец, из формулы (13) с помощью (11) и в том же приближении, которое было использовано при вычислении , имеем

k^2

iak

(iak)

c^2a^3 J

n (iak)

(n^2-1-k^2a^2)

ca2n

2n-1

(14)

Это

соотношение, за исключением последнего члена, совпадает с решением, полученным Рэлеем. Мы видим, таким образом, что влияние различия в величинах скоростей концентрических слоёв струи состоит в том, что в формуле для длины волны =2/k выражение для средней скорости струи c заменяется «эффективной средней скоростью»

c'=c+

a2n

2n-1

(15)

Из выражения (15) мы видим, что чем больше и, тем ближе будет эффективная средняя скорость совпадать со скоростью движения поверхности. Это объясняется тем, что чем больше значение n (т. е. число волн, укладывающееся на длине окружности сечения струи), тем быстрее будет уменьшаться скорость колебательного движения частиц жидкости при переходе от поверхности к оси струи.

Теперь можно показать, что c' будет меньше c, если скорость струи имеет наибольшее значение в центре и постепенно уменьшается к поверхности (это и будет иметь место в условиях эксперимента). Поскольку c — средняя скорость струи, то

=0,

и в рассматриваемом случае

>0,

если a > r > 0. Отсюда получаем для n >= 2 (в экспериментах n = 2)

c'-c

a2n

2n-1

2n(2n-2)

a2n

2n-3

<0.

(16)

Мы видим, что указанное различие скоростей приводит к изменению длины волны именно того знака, как это было найдено на опыте. Покажем теперь, что величина скорости изменения длины волны также приблизительно согласуется с законом затухания разности скоростей. Для этого мы используем четыре эксперимента, данные о которых представлены в таблице, приведённой в I (см. стр. 41). В помещённой ниже таблице приведены размеры среднего радиуса струи a и скорости v (вычисленной по значениям расхода воды и среднего радиуса).

Таблица

III

0,06755

0,07554

0,07595

0,08010

426

428

426

429

0,54

0,53

0,50

4,30

5,16

5,59

=(D

)

v/100l

0,54

0,59

'=exp

–

·1,2197

100

0,67

0,72

0,73

0,75

выражении D2/D1 числитель означает разность между длиной волны, измеренной по расстоянию между IV и V пучностями, и постоянным значением, к которому она стремится вдали от начала струи, а знаменатель — соответствующую разность между расстоянием от II до III пучности и тем же предельным значением. При этом в значения соответствующих разностей введены небольшие поправки на кривизну струи и на конечность амплитуд волны — в согласии с тем, как это делалось в работе 1 в связи с табл. 2 (стр. 41). Далее, через l обозначена разность между средними значениями отсчётов положений IV и V и соответственно II и III пучностей волн; означает отношение разностей между длиной волны и её предельным значением в двух местах, отделённых расстоянием, которому соответствует промежуток времени 0,01 сек (при вычислении предполагалось, что эти разности спадают по экспоненциальному закону). Наконец, ' означает отношение максимальных изменений скоростей струи по сечению в двух местах, отделённых тем же интервалом времени 0,01 сек, вычисленное по теоретической формуле (см. I, стр. 28).

Мы видим, что измеренные и рассчитанные значения декремента изменения длины волны согласуются по порядку величины; большего и нельзя требовать от столь приближённого расчёта, поскольку нет никаких оснований ожидать, что распределение скорости по сечению струи, находящемуся столь близко от отверстия, будет полностью описываться одним первым членом общей формулы в I (см. стр. 28).

После того как мы увидели теперь, что мои эксперименты не дают никакого повода для заключения об изменении коэффициента поверхностного натяжения в течение времени, непосредственно следующего за образованием поверхности, мы продолжим обсуждение значений коэффициента поверхностного натяжения свежеобразованной поверхности воды, найденных Ленардом по методу колебаний падающих капель.

Изучаемая при этом поверхность должна рассматриваться, по моему мнению, значительно более «старой», чем поверхность, исследованная в моих экспериментах, по той причине, что образование капель происходило в течение довольно большого времени. Ленард замечает в своей последней статье (см. II, стр. 11, примечание 18), что это время, составляющее 0,17—1,05 сек в его первой работе и 0,6—0,9 сек — в последней, вносит лишь очень незначительный вклад в общий «возраст» поверхности капель, поскольку новая поверхность образуется в течение этого времени непрерывно. Однако это обстоятельство не представляется мне достаточным, чтобы оправдать пренебрежение этим очень длительным при рассматриваемых условиях временем. Я скорее склонен согласиться с точкой зрения, высказанной в его предыдущей работе, согласно которой возраст поверхности сравним с временем образования капель (см. II, стр. 233).

Сравнение экспериментов Ленарда (II, стр. 236) и Рэлея 1, относящихся к измерению величины коэффициента поверхностного натяжения мыльных растворов (плёнок), также представляется отчётливо свидетельствующим в пользу того, что время образования капель оказывает существенное влияние на условия, имеющие место на поверхности. В экспериментах Рэлея с колеблющейся струёй было обнаружено, что коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора, измеренный через 0,01 сек после образования поверхности, очень близок к значению, относящемуся к чистой воде. Вместе с тем Ленард в результате экспериментов с колеблющимися каплями (время их образования было больше 1/4 сек) нашёл, что коэффициент поверхностного натяжения при соответствующей концентрации (1 : 1000) составляет половину его значения для воды и примерно совпадает со стационарным значением коэффициента поверхностного натяжения мыльного раствора.