Избранные научные труды
Шрифт:
1 Ср.: J. W. Nicholson. Month. Not. Roy. Astr. Soc., 1912, 72, 52.
Для наглядной иллюстрации представим себе, что рассматриваемые смещения вызваны внешними силами, действующими на электрон параллельно оси кольца. Если смещения происходят бесконечно медленно, то движение электронов в каждое мгновение происходит нормально первоначальной плоскости кольца; момент импульса каждого электрона относительно центра своей круговой орбиты, очевидно, равен первоначальному значению. Прирост потенциальной энергии системы будет равняться работе внешних сил, вызвавших смещения. С помощью таких рассуждений мы приходим к допущению, что в противоположность случаю колебаний в плоскости кольца обычная механика может применяться
Значения sn и pn,0– pn,m от n = 1 до n = 16 даны в табл. 1.
Таблица 1
n
sn
pn,0– pn,m
n
sn
pn,0– pn,m
1
0
0
9
3,328
13,14
2
0,25
0,25
10
3,863
18,13
3
0,577
0,58
11
4,416
23,60
4
0,957
1,41
12
4,984
30,80
5
1,377
2,43
13
5,565
38,57
6
1,828
4,25
14
6,159
48,38
7
2,305
6,35
15
6,764
58,83
8
2,805
9,56
16
7,379
71,65
Из таблицы видно, что число электронов, которые могут вращаться вокруг ядра с зарядом Ne в одном кольце, очень медленно растет с увеличением N; для N = 20 наибольшее значение n = 10; для N = 40, n = 13; для N = 60, n = 15. Мы видим далее, что рой из n электронов не может вращаться вокруг ядра с зарядом ne в единственном кольце, если только n не меньше 8.
Выше мы предполагали, что электроны движутся под влиянием стационарной радиальной силы и что их орбиты в точности круговые. Первое условие не выполняется, если рассматриваемая система содержит несколько электронных колец, вращающихся с разными частотами. Если же расстояние между кольцами не мало по сравнению с их радиусами, а отношение частот не близко к единице, то отклонение орбиты от круговой очень мало. Тогда движение электронов почти идентично установленному из допущения, что, заряд электронов равномерно распределен по кольцу. Если отношение радиусов колец не близко к единице, то получаемые из этого допущения условия устойчивости можно считать достаточными.
В § 1 мы предположили, что электроны в атоме вращаются в коаксиальных кольцах. Расчёт показывает, что плоскости колец могут разделиться только в случае систем, содержащих большое число электронов; в системах, содержащих ограниченное число электронов, все кольца лежат в одной единственной плоскости, проходящей через ядро. Простоты ради мы будем рассматривать только последние.
Рассмотрим электрический заряд E равномерно распределённый по окружности радиуса a. В точке, расположенной на расстоянии z от плоскости и r от оси кольца, электростатический потенциал задаётся выражением
U
=
1
E
0
d
a^2 + r^2 + z^2 - 2ar cos
.
Если
K
=
/2
0
d
1 - sin^2 cos^2
,
то для радиальной силы, действующей на электрон в некоторой точке плоскости кольца, получим
e
U
r
=
Ee
r^2
Q
,
где
Q
=
2
sin
4
[
K(2)
– ctg ·
K'(2)
].
Соответствующая сила, перпендикулярная плоскости кольца, на расстоянии r от центра кольца на небольшом расстоянии z от его плоскости будет равна
e
U
r
=
Eez
r^3
R
,
где
R
=
2
sin
6
[
K(2)
+ tg(2)·
K'(2)
].
Краткая таблица функций Q и R дана на стр. 115.
Далее рассмотрим систему, содержащую некоторое число концентрических электронных колец, вращающихся в одной и той же плоскости вокруг ядра с зарядом Ne. Пусть радиусы колец будут a1, a2, …, а число электронов на различных кольцах — n1, n2, ….
Положив ar/as = tg^2 r,s, получим для радиальной силы, действующей на электрон в r-м кольце,
e2
a2r
F
r
,
где
F
r
,
=
N - s -
n
s
Q(
r,s
)
.
Суммирование проводится по всем кольцам, за исключением рассматриваемого.
Если распределение электронов в различных кольцах известно, то по формуле (1) на стр. 109 с помощью вышеизложенного можно определить a1, a2, …. Расчёт можно провести путём последовательных приближений; при этом мы исходим из значений для величин и по ним вычисляем величины F, а затем вновь определяем значения по формуле (1), что даёт Fs/Fr = as/ar = tg^2(s,r) и т. д.
Как и в случае единственного кольца, мы здесь также предположим, что система устойчива относительно смещений электронов в плоскости своей орбиты. При расчёте, подобном приведённому на стр. 111, строго говоря, нужно учитывать взаимодействие колец. Это взаимодействие приведёт к тому, что величины F в отличие от случая единственного вращающегося кольца не будут уже постоянными; они будут меняться с радиусами колец. Но если отношение радиусов колец не очень близко к единице, то изменение F слишком мало, чтобы влиять на результат расчёта.