Избранные научные труды
Шрифт:
s=1
cosec
s
n
.
Значения sn от n = 1 до n = 16 даны в таблице на стр. 112.
Мы показали (см. часть I, стр. 105), что для систем, состоящих из ядер и электронов, вращающихся вокруг них по круговым орбитам со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света, суммарная кинетическая энергия электронов равна общему количеству энергии, испущенной при образовании системы из первоначального расположения, в котором частицы покоились и находились бесконечно далеко друг от друга. Если обозначить эту энергию через W, имеем
W
=
m
2
v^2
=
2^2e^2m
h^2
F^2
.
(3)
Если
a = 0,55·10
– 8
F
– 1
,
v = 2,1·10
8
F
= 6,2·10
15
F
2
,
W = 2,0·10
– 11
F
2
.
(4)
В первой части работы мы пренебрегли магнитными силами, возникающими при движении электронов; это означает, что предполагалась малая скорость частиц по сравнению со скоростью света. Приведённые выше расчёты показывают, что это осуществляется, если F мало по сравнению с 150. Как мы увидим, последнее условие выполняется для всех электронов в атомах элементов с небольшим атомным весом и для большей части электронов в атомах других элементов.
Если скорость электронов не мала по сравнению со скоростью света, то постоянство момента импульса уже не предопределяет постоянства отношения между энергией и частотой обращения. В этом случае на основе соображений части I без введения новых допущений нельзя определить расположение электронов в системе. Но дальнейшее рассмотрение показывает, что постоянство момента импульса всё-таки остаётся главным условием. Если применять это условие к скоростям, не малым по сравнению со скоростью света, то мы получим то же выражение для v что и в (1), с той лишь разницей, что величина m в выражениях для a и заменяется на m/1-(v^2/c^2), а в выражении для W — на
m·2
c^2
v^2
1-
1-
v^2
c^2
1/2
.
Как уже установлено в части I, основанный на обычной механике расчёт показывает, что кольцо электронов, вращающееся вокруг ядра, вообще неустойчиво при смещениях электронов в плоскости кольца. Чтобы избежать этой трудности, мы предположили, что обычные принципы механики столь же мало применимы при рассмотрении упомянутой проблемы, как и при рассмотрении механизма связывания электронов. Мы также предположили, что устойчивость относительно таких смещений обеспечена введением гипотезы универсального постоянства момента импульса электронов.
Как легко показать, последнее предположение включено в § 1 в условие устойчивости. Рассмотрим кольцо электронов, вращающееся вокруг ядра, и допустим, что система находится в динамическом равновесии, причём a0 — радиус кольца, v0 — скорость электронов, T0 — общая кинетическая энергия и P0 — потенциальная энергия. Как показана в части I (стр. 102), P0 = -2T0. Рассмотрим сначала такую конфигурацию системы, при которой под влиянием внешних сил электроны вращаются вокруг ядра с одинаковым моментом
P+T
=
1
P
0
+
1
^2
T
0
=
P
0
+
T
0
+
T
0
1-
1
2
.
Мы видим, что общая энергия при новой конфигурации больше, чем при первоначальной. Согласно условию устойчивости § 1, система устойчива при рассмотренном смещении. В этой связи нужно отметить сделанное в части I предположение, что частота испускаемого или поглощаемого системой излучения не может определяться частотами колебаний электронов в плоскости орбит, как это вытекает из расчётов с помощью обычной механики. Напротив, мы предположили, что частота излучения определяется условием h = E, где — частота, h — постоянная Планка, E — разница в энергиях двух различных стационарных состояний системы.
Для исследования устойчивости электронного кольца, вращающегося вокруг ядра, относительно смещений электронов, перпендикулярных к плоскости кольца, рассмотрим расположение системы, при котором электроны смещены соответственно на z1, z2, …, zn, и примем, что электроны под действием внешних сил вращаются по круговым орбитам вокруг оси системы в плоскостях, параллельных первоначальным плоскостям, с теми же радиусами и моментами импульса, как и раньше. Кинетическая энергия при смещении меняется; если пренебречь степенями z1, z2, …, zn выше второй, то прирост потенциальной энергии имеет вид
1
2
e^2
a^3
N
(z)^2
–
1
32
e^2
a^3
cosec^3
(r-s)
n
(z
r
– z
s
)^2
,
где a — радиус кольца, Ne — заряд ядра, n — число электронов. Согласно условию устойчивости § 1, система будет устойчивой при рассматриваемых смещениях, если приведённое выше выражение положительно для произвольных значений z1, z2, …, zn. Простым расчётом можно показать, что последнее требование эквивалентно условию
N > p
n,0
– p
n,m
,
(5)
где m — целое число (меньшее n), для которого
p
n,k
=
1
8
s=n-1
s=1
cos 2k
s
n
cosec^3
s
n
имеем наименьшее значение. Это условие идентично условию равновесия, выведенного на основе рассуждений обычной механики для смещений электронов перпендикулярно плоскости кольца 1.