Избранные научные труды

Бор Нильс Хенрик Давид

В § 2 рассматривается строение и устойчивость уже связанных систем. Мы будем рассматривать только простейший случай, когда система состоит из двух ядер и одного кольца электронов, вращающихся вокруг прямой, соединяющей ядра. Результат расчёта даст, правда, указания на то, какие конфигурации следует ожидать в сложных случаях. Как и в предыдущих частях работы, мы предположим, что условия равновесия можно получить с помощью обычной механики. Но при определении абсолютных размеров и устойчивости системы мы воспользуемся основной гипотезой, установленной в части I. Согласно этой гипотезе, момент импульса каждого электрона относительно центра своей орбиты имеет универсальное значение h/2, где h — постоянная Планка. Кроме того,

принимается условие устойчивости: общая энергия системы при заданной конфигурации меньше, чем при любой другой близкой конфигурации, удовлетворяющей тому же условию для момента импульса электронов.

В § 3 обсуждается ожидаемая конфигурация молекул водорода.

В § 4 рассматриваются способы образования системы. Будет предложен простой способ, дающий возможность проследить шаг за шагом соединение двух атомов при образовании молекулы. Будет показано, что получаемое расположение удовлетворяет условиям, использованным в § 2. Роль, которую играет момент импульса электрона в этих рассуждениях, является сильным доводом в пользу основной гипотезы.

Наконец, § 5 содержит некоторые указания на то, какого рода конфигурации можно ожидать для систем с большим числом электронов.

§ 2. Конфигурации системы и её устойчивость

Рассмотрим систему, состоящую из двух ядер одинакового заряда и одного кольца электронов, вращающихся вокруг прямой, соединяющей ядра. Пусть n — число электронов в кольце, -e — заряд одного электрона, Ne — заряд каждого ядра. Как легко показать, система будет находиться в равновесии, если ядра равноудалены от плоскости кольца и справедливо соотношение

b=a

4n

N

2/3

– 1

– 1/2

,

(1)

связывающее диаметр кольца 2a и расстояние 2b между ядрами.

Здесь предполагается, что частота обращения со такова, что для каждого электрона центробежная сила уравновешивает радиальную силу, вызванную притяжением ядра и отталкиванием других электронов. Обозначив эту силу через (e^2/a^2)F, получим в соответствии с условием универсального постоянства момента импульса электронов (как это показано в части II на стр. 108—109)

a=

h²

4²e²m

F

^{– 1}

 и =

4²e⁴m

h³

F

²

.

Общая энергия, необходимая для удаления всех заряженных частиц на бесконечные расстояния друг от друга, равна общей кинетической энергии электронов, а именно:

W=

4²e⁴m

h²

F

²

.

Для рассматриваемой системы имеем

F

=

N^2

2n

4n

N

2/3

– 1

3/2

– s

_n

,

(4)

где

s

_n

=

1

4

_s=n-1

^s=1

cosec

s

n

.

Таблица

значений s_n приведена в части II на стр. 112.

Чтобы исследовать устойчивость системы, мы должны рассматривать смещения электронных орбит относительно ядра, а также ядер относительно друг друга.

Основанный на обычной механике расчёт показывает, что система неустойчива относительно смещений электронов в плоскости кольца. Однако, как и для систем, рассмотренных в части II, мы предположим, что обычные принципы механики неприменимы при рассмотрении проблемы, о которой идёт речь, и что устойчивость системы при указанных смещениях обеспечивается введением гипотезы об универсальном постоянстве момента импульса электронов. Это предположение включено в условие устойчивости, как оно дано в § 1. Следует заметить, что в части II величина F считается постоянной, тогда как для рассматриваемых здесь систем при заданных положениях ядер F меняется с радиусом кольца. Простой расчёт, подобный приведённому на стр. части II, показывает всё же, что прирост общей энергии системы при изменении радиуса кольца от a до a + a может быть представлен выражением

(P+T)

=

T

1+

a

F

F

a

a

a

^2

,

если пренебречь степенями a выше второй. Здесь T — общая кинетическая, а P — потенциальная энергия системы. Поскольку для заданных закреплённых положений ядер F увеличивается с увеличением a ( F = 0 для a = 0, = F = 2N - s_n для F = ), то член, зависящий от изменения F, положителен, а, следовательно, система устойчива относительно рассматриваемого смещения.

С помощью рассуждений, точно соответствующих изложенным на стр. 111 части II, мы получаем условие устойчивости относительно смещений электронов, перпендикулярных плоскости кольца

F < p

_n,0

– p

_n,m

,

(5)

где p_n,0– p_n,m имеет то же значение, что и в части II, a e^2/a^3Fz означает перпендикулярную плоскости кольца компоненту силы, которая вызвана действием ядер на один из электронов, испытывающих небольшое смещение z перпендикулярно плоскости кольца. Как и для систем, рассмотренных в части II, можно представлять себе, что смещения вызваны посторонними внешними силами, действующими на электроны в направлении, параллельном оси системы.

Для системы двух ядер, заряд каждого из которых равен Ne, и кольца из n электронов, находим

G

=

N^2

2n

4n

N

2/3

– 1

3/2

1-3

N

4n

2/3

.

(6)

С помощью этого выражения, используя таблицу для p_n,0– p_n,m на стр. 112 части II, легко показать, что система, о которой идёт речь, устойчива только тогда, когда N = 1 и n равно 2 или 3.