Избранные научные труды
Шрифт:
E
n
=-
Kh
n^2
.
(7)
Выбор отрицательного знака определяется тем, что энергия атома проще всего характеризуется работой, требуемой для удаления электрона в бесконечность; мы обозначили её выше через W. Подставляя в формулу (6) вместо W выражение (7), мы получаем число оборотов электрона и большую ось орбиты для n-го стационарного состояния
n
=
1
n3
2h3K3
3e4m
1/2
, 2a
=
n2e2
hK
.
(8)
Мы
Согласно нашим предпосылкам, всякая линия спектра водорода соответствует излучению при переходе между двумя состояниями атома, которым отвечают различные значения n число оборотов и большая ось эллипса могут быть при этом самыми разнообразными. Как показывают формулы (8), с уменьшением энергии атома во время процесса излучения большая ось орбиты электрона уменьшается и число оборотов возрастает. Таким образом, вообще говоря, исключается возможность получить соотношение между числом оборотов электрона и частотой излучения, соответствующее обычным представлениям об излучении. Рассмотрим, однако, отношение чисел оборотов двух стационарных состояний, отвечающих числам n' и n'', в том случае, когда n' и n'' постепенно возрастают; мы увидим, что отношение приближается к единице, хотя разность n'-n'' остаётся неизменной. Таким образом, открывается возможность получить некоторое основание для сравнения наших воззрений с обычными представлениями теории излучения в том случае, когда рассматриваются переходы, соответствующие большим значениям n' и n''. Для частоты излучения при таком переходе на основании формулы (5) имеем
=
K
(n'')^2
–
K
(n')^2
=
(n'-n'')K
n'+n''
(n')^2(n'')^2
.
(9)
Если числа n' и n'' велики по сравнению с их разностью, это выражение на основании формул (8) приближённо может быть записано в виде
~
(n'-n'')
2 d4m
Kh3
1/2
,
(10)
где — число оборотов в одном из двух состояний. Так как n'-n'' — целое число, мы видим, что первая часть выражения, т. е. (n'-n'') совпадает с частотой одной из гармонических компонент, на которые может быть разложено эллиптическое движение электрона. Как известно, для всякого периодического движения с числом оборотов смещение частиц системы в положительном направлении пространства может быть представлено как функция времени тригонометрическим рядом вида
=
C
cos 2(t+e
)
,
(11)
где суммирование распространяется на все положительные целые значения .
Таким образом, мы видим, что частота излучения, испускаемого при переходе между стационарными состояниями, характеризуемыми числами n' и n'', большими по сравнению с их разностью, совпадает с частотой одной из компонент излучения, которую можно ожидать при избранном движении электрона в стационарном состоянии на основании обычных представлений. Это совпадение будет иметь место в том случае, если последний множитель в правой части формулы (10) будет равен единице. Такое условие равносильно следующему:
K
=
22e4m
h3
.
(12)
Оно фактически выполняется, если подставить для K значение, найденное из измерений в водородном спектре, а для e, m, h — значения, непосредственно определяемые на опыте. Такое совпадение устанавливает связь между спектром и моделью атома водорода; если принять во внимание фундаментальное различие между представлениями теории квантов и обычной теорией излучения, то найденная связь становится тем более замечательной.
Рассмотрим теперь ближе обнаруженную связь между спектрами, ожидаемыми по теории квантов, с одной стороны, и обычной теорией излучения — с другой стороны, в области,
Дальнейшее рассмотрение приводит нас к тому, что эта своеобразная связь является общим законом переходов между стационарными состояниями; мы должны предположить, что возможность перехода между двумя данными стационарными состояниями связана с наличием определённой гармонической компоненты в движении системы. Величина указанной компоненты может быть совершенно различной в двух рассматриваемых состояниях, когда числа n' и n'' невелики по сравнению с их разностью. Поэтому можно наперёд ожидать, что связь между вероятностью перехода и амплитудой гармонической компоненты движения будет, вообще говоря, сложной. То же самое можно сказать относительно связи частоты излучения и соответствующей компоненты движения. С этой точки зрения мы должны, например, рассматривать зелёную водородную линию H, отвечающую переходу из четвертого состояния во второе, некоторым образом как «октаву» красной линии H, соответствующей переходу из второго состояния в третье, хотя частота колебаний первой линии никоим образом не равна удвоенной частоте второй линии. Мы должны рассматривать процесс, вызывающий появление линии H как обусловленный наличием некоторой гармонической компоненты в движении атома, являющейся октавой к компоненте того движения, которая приводит к возможности излучения линии H.
Прежде чем переходить к рассмотрению других спектров, в которых мы найдём многочисленные применения изложенной точки зрения, я хочу упомянуть об одном интересном применении изложенных соображений к теории осциллятора Планка. Вычислим из формул (1) и (4) частоту колебаний, соответствующую переходу из одного особого состояния осциллятора в другое; мы найдём
=
(n'-n'')
,
(13)
где n' и n'' - числа, определяющие указанные состояния. Существенная предпосылка теории Планка заключается в том, что частота поглощаемого и испускаемого осциллятором излучения всегда равна мы видим, что эта предпосылка равносильна утверждению, что в данном осцилляторе, в противоположность атому водорода, возможны только переходы между двумя соседними стационарными состояниями. С точки зрения, развитой выше, этого можно было ожидать, так как разница между осциллятором и атомом водорода, по нашему предположению, заключалась в том, что движение осциллятора, в противоположность движению электрона в атоме, является чисто гармоническим. Мы видим, таким образом, формальную возможность построить теорию излучения, в которой спектр водорода и простой спектр осциллятора Планка фигурировали бы совершенно равноправно. Однако, очевидно, что только для такой простой системы, как осциллятор, теория может быть сформулирована одним условием; в общем случае это условие распадается на два: одно, касающееся характера движения в стационарных состояниях, и другое, относящееся к частоте излучения, испускаемого при переходах между этими состояниями.
Переходя теперь к спектрам элементов с более высоким атомным номером, мы видим, что они имеют более сложное строение, чем спектр водорода. Однако, как известно, для спектров многих элементов найдены простые законы, представляющие собой замечательную аналогию с формулой Бальмера для спектра водорода. По Ридбергу и Ритцу, частоты колебаний сериальных спектров этих элементов могут быть выражены формулой типа
=
f
k''
(n'')
–
f