Избранные научные труды

Бор Нильс Хенрик Давид

E

=-

1

n²

2²e⁴m

h²

+

nk

3h²F

8²em

.

(20)

Задаваясь вопросом о влиянии электрического поля на линии спектра атома водорода, мы получаем на основании условия частот (4) для числа колебаний света, излучаемого при переходе из стационарного состояния n', k', в состояние n'', k'', следующее выражение:

=

2²e⁴m

h³

1

(n'')²

–

1

(n'')²

+

3h²F

8²em

(n'k'-n''k'')

.

(21)

Эта формула точно совпадает

с выведенными Эпштейном и Шварцшильдом формулами, которые, как известно, представляют собой убедительное объяснение частот компонент штарковского расщепления спектральных линий водорода. Вывод этих формул основан на том, что атом водорода в однородном электрическом поле является условно-периодической системой, уравнения движения которой в параболических координатах могут быть решены разделением переменных; поэтому методом, указанным выше, можно определить стационарные состояния.

Рассмотрим теперь несколько подробнее то соответствие, которое существует между изменениями спектра водорода в электрическом поле (как это наблюдается в эффекте Штарка) и разложением возмущённого движения атома на гармонические компоненты. Прежде всего находим, что вместо простого разложения на гармонические компоненты, соответствующего кеплеровскому движению, пространственное смещение электрона в заданном направлении в рассматриваемом случае будет выражаться в виде

=

C

_,

cos 2{t(+)+c

_,

}

,

(22)

где — среднее число обращений по возмущённой орбите, — указанное выше число периодов возмущения орбиты, C_,, и c_,, — постоянные; здесь суммирование распространяется на все целые значения тих. Рассматривая переход между двумя стационарными состояниями, характеризуемыми некоторыми числами n', k' и n'', k'', мы находим для тех значений этих чисел, которые велики по сравнению с разностями n'-n'' и k'-k'', что частота излучаемой спектральной линии приближённо выражается формулой

~

(n'-n'')

+

(k'-k'')

.

(23)

Мы имеем, таким образом, связь между спектром и движением атома того же характера, как и в ранее рассмотренном простом случае невозмущённого атома водорода. Здесь имеется налицо такое же соответствие между гармоническими компонентами движения с определёнными значениями и в формуле (22) и переходом между двумя стационарными состояниями, для которых n'-n''= и k'-k''=.

Это соответствие приведёт нас при ближайшем рассмотрении движения ко многим интересным следствиям. Так, рассмотрение движения показывает, что всякая гармоническая компонента в выражении (22), для которой + — чётное число, соответствует прямолинейному колебанию, параллельному направлению электрического поля; всякая же компонента, для которой + — число нечётное, соответствует эллиптическому колебанию, перпендикулярному электрическому полю. Рассматривая этот факт в свете принципа соответствия, мы приходим к мысли объяснить таким образом наблюдаемую характерную поляризацию компонент штарковского расщепления. Излучение, сопровождающее переходы, для которых сумма (n'-n'')+(k'-k'') есть чётное число, должно давать компоненты, в которых электрический вектор колеблется параллельно электрическому полю; наоборот, для переходов с нечётным значением (n'-n'')+(k'-k'') должна возникать компонента с электрическим вектором, колеблющимся перпендикулярно полю. Это предположение вполне подтверждается опытом и соответствует эмпирическому правилу поляризации, установленному Эпштейном в его первой работе об эффекте Штарка. Применения принципа соответствия, о которых мы до сих пор говорили и которые относятся к вопросу о возможности различных типов переходов и к поляризации света, излучаемого при таких переходах, носили часто качественный характер. Возможно, однако, на основе этого принципа, сравнивая относительные значения амплитуд соответствующих гармонических компонент движения, дать количественную оценку относительной вероятности различных возможных переходов. Это соображение весьма поучительно оправдалось для случая эффекта Штарка в водороде. Исследуя численные значения коэффициентов C_, в формуле (22), можно вполне осветить своеобразное и как будто произвольное распределение интенсивностей в различных компонентах, на которые распадается каждая спектральная линия водорода в электрическом поле. Этот вопрос обстоятельно разобран Крамерсом в его недавно появившейся диссертации, содержащей подробное рассмотрение применения принципа соответствия к вопросу об интенсивности спектральных линий.

Переходя к вопросу о влиянии однородного магнитного поля на спектральные линии водорода, мы можем поступить совершенно аналогичным образом. Как известно, действие такого поля на движение атома водорода состоит просто в наложении равномерного вращения на движение электронов в невозмущённом атоме. При этом ось вращения параллельна направлению магнитного поля, а число оборотов выражается формулой

=

eH

4mc

,

(24)

где H — напряжённость поля, c — скорость света. Следовательно, мы снова имеем тот случай, когда возмущения носят чисто периодический характер и число периодов возмущения не зависит от формы и положения орбиты, а в данном случае — даже от её большой оси. Мы можем, таким образом, применить те же соображения, как и для эффекта Штарка, и вправе ожидать, что энергия стационарных состояний снова будет выражаться формулой (19), где для о нужно подставить значение (24). Этот результат вполне согласуется с выражениями, выведенными Зоммерфельдом и Дебаем для значений энергии стационарных состояний водородного атома в магнитном поле. Вывод этих выражений основан на том, что уравнения движения атома в магнитном поле допускают решение путём разделения переменных, если ввести пространственные полярные координаты с осью, параллельной направлению поля. Однако, если попытаться вычислить влияние поля на спектральные линии водорода из значений энергии в стационарных состояниях, пользуясь непосредственно условием частот (4), то придётся столкнуться с кажущимися разногласиями, считавшимися некоторое время серьёзным затруднением для теории. Зоммерфельд и Дебай

указали, что не всякому мыслимому переходу между двумя стационарными состояниями соответствует линия, наблюдаемая в эффекте Зеемана; в противоположность положению дел с эффектом Штарка, в данном случае из теории следует значительно большее число компонент, чем наблюдается на опыте. Однако это затруднение исчезает, как только мы привлечём принцип соответствия. Исследуя разложение движения на гармонические компоненты, мы находим непосредственное объяснение как невозможности переходов, соответствующих «лишним» компонентам, так и поляризации наблюдаемых компонент. Так, например, мы просто находим, что всякая эллиптически-гармоническая компонента, с числом колебаний появляющаяся в разложении невозмущённого движения, распадается в магнитном поле под влиянием указанного выше равномерного вращения орбиты на три гармонические компоненты. Одна из них — прямолинейная с числом колебаний и с направлением, параллельным магнитному полю; две остальные — круговые с числами колебаний + и -, колеблющиеся в противоположных направлениях в плоскости, перпендикулярной полю. Следовательно, движение, представляемое формулой (22), не содержит компонент, для которых было бы больше единицы (в противоположность эффекту Штарка, где в движении имеются компоненты для всех значений ). Сравнивая этот результат с формулой (23), выражающей «асимптотическое» совпадение числа колебаний излучения и числа колебаний гармонической компоненты в случае больших значений n и k мы приходим к выводу, что переходы, для которых k меняется больше, чем на единицу, в этом случае невозможны. Подобным же образом для осциллятора Планка исключены переходы между двумя особыми состояниями, для которых n в формуле (1) отличается более чем на единицу. Далее, мы должны заключить, что возможны два типа переходов. Для переходов, соответствующих прямолинейным компонентам колебания, величина k в формуле (19) не изменяется, частота ₀ первоначальной линии водорода также не изменяется и электрический вектор колеблется параллельно полю. Для второго типа переходов, соответствующего круговым компонентам колебания, k уменьшается или увеличивается на единицу и колебания, частоты которых соответственно равны ₀+ и ₀– , при наблюдении параллельно полю будут поляризованы по кругу. Эти результаты согласуются с известной теорией нормального эффекта Зеемана, предложенной Лоренцом. В изложенных соображениях можно заметить очень близкую аналогию с указанной теорией, наличие которой станет особенно поразительным, если принять во внимание фундаментальное различие представлений теории квантов и обычной теории излучения.

Примером применения подобных же соображений, проливающих свет на строение спектров других элементов, может служить действие небольшого возмущающего центрально-симметричного силового поля на спектр водорода. В данном примере, в противоположность ранее рассмотренным случаям, ни форма, ни положение плоскости орбиты не меняются с течением времени, и возмущающее действие поля состоит только в равномерном вращении большой оси орбиты. В этом случае возмущения по-прежнему имеют периодический характер, и мы можем предполагать, что каждому значению энергии стационарного состояния невозмущённой системы соответствует ряд дискретных значений энергии возмущённой системы, характеризующих состояния, определяемые целыми числами k. В рассматриваемом случае число колебаний возмущения , равное числу оборотов большой оси, зависит при данном законе сил не только от большой оси орбиты, но и от её эксцентриситета. Изменение энергии в стационарных состояниях, вызванное присутствием возмущающих сил, не определяется столь же простым выражением, как второй член формулы (19); зависимость этого изменения от k будет меняться при различных полях. Однако мы увидим, что существует возможность характеризовать движение в стационарных состояниях атома водорода при любом центральном возмущающем поле с помощью одного и того же условия. Для уяснения этого мы коротко остановимся на определении характера движения возмущённого атома водорода.

Как мы уже говорили, в стационарных состояниях невозмущённого атома водорода вполне определена только большая ось орбиты, в то время как эксцентриситет её может принимать любые значения. С другой стороны, изменение энергии атома под действием внешнего силового поля зависит от формы и положения орбиты; поэтому, естественно, определение энергии атома в силовом поле связано с более детальным определением орбиты в стационарных состояниях возмущённой системы. В рассмотренных выше случаях изменения спектра водорода в однородном электрическом и магнитном полях условие энергии (19) допускает простое геометрическое толкование. В электрическом поле расстояние ядра от плоскости, в которой движется центр орбиты и которая определяет изменение энергии системы в стационарных состояниях, обусловленное присутствием поля, равно большой полуоси орбиты, умноженной на k/n. В случае магнитного поля можно показать, что величина, определяющая изменение энергии системы в присутствии поля, т. е. площадь проекции орбиты на плоскость, перпендикулярную магнитному полю, равняется умноженной на k/n площади a_n^2 круга с радиусом, равным большой полуоси орбиты. Аналогичным образом можно показать, что наличие требуемого теорией квантов соответствия между спектром и движением атома приводит к простому условию для случая атома водорода, возмущаемого центральным полем: в стационарных состояниях возмущённой системы малая ось вращающейся орбиты равна большой оси 2a_n, умноженной на k/n. Это условие первоначально было выведено Зоммерфельдом из его общей теории определения стационарных состояний движения в центральном поле, являющегося особенно простым примером движения условно-периодической системы. Нетрудно показать, что указанное определение значений малой оси равносильно тому, что параметр ¹ 2p эллиптической орбиты определяется выражением той же формы, что и большая ось 2a_n в невозмущённом атоме с заменой n на k. Таким образом, значение этого параметра для стационарных состояний возмущённого атома будет

2p

=

k^2

h^2

2^2e^2m

.

(25)

¹ Хорда, проходящая через фокус эллипса перпендикулярно большой оси.— Прим. перев.

При таком определении стационарных состояний мы получим для частоты света, излучаемого при переходах между состояниями с n и k, большими по сравнению с их разностью, выражение, совпадающее с (22), где - число оборотов электрона по медленно вращающейся орбите, а - число оборотов большой оси орбиты.