Как не ошибаться. Сила математического мышления

Элленберг Джордан

Когда вы запускаете ракету, траектория ее перемещения выглядит так.

Ракета сначала движется вверх, а затем вниз, образуя параболическую дугу. Сила тяжести изгибает любую траекторию движения по направлению к поверхности Земли; это один из самых фундаментальных законов нашей физической жизни. Но, если мы увеличим масштаб и рассмотрим очень короткий отрезок этой кривой, она будет выглядеть так.

Затем так.

Как

и в случае окружности, траектория движения ракеты кажется прямой линией, направленной вверх под определенным углом. Безусловно, эта линия отклоняется под действием силы тяжести, но подобное отклонение слишком незначительно, чтобы увидеть его невооруженным глазом. Приближение к еще более мелкому участку кривой делает линию еще больше похожей на прямую. Чем больше приближение, тем ровнее участок кривой.

А теперь сделаем концептуальный скачок. Ньютон сказал: послушайте, давайте пойдем до конца. Уменьшайте поле зрения до тех пор, пока оно не станет бесконечно малой величиной – настолько малой, что она будет меньше любого размера, который вы можете назвать, но все же не равной нулю. Вы изучаете траекторию движения ракеты не на протяжении очень короткого периода, а в один момент времени. В таком случае то, что было почти прямой линией, становится в точности прямой. Наклон этой кривой Ньютон называл флюксией, а мы называем производной.

Именно этот скачок не был готов совершить Архимед. Он понимал, что многоугольники с более короткими сторонами все более и более приближаются к окружности, но он никогда не говорил о том, что в действительности окружность представляет собой многоугольник с бесконечно большим количеством бесконечно малых сторон.

Некоторые современники Ньютона также не разделяли его точку зрения. Наиболее активно возражал Ньютону Джордж Беркли, который критиковал концепцию бесконечно малых величин Ньютона в крайне издевательском тоне {23} , как, к сожалению, сейчас уже не пишут в математической литературе:

23

George Berkeley. The Analyst: A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician (1734) / Ed. David R. Wilkins, (www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Berkeley/Analyst/Analyst.pdf – просмотрено 13.01.2014).

А что такое эти флюксии? Скорости исчезающих приращений. А что такое эти самые исчезающие приращения? Они не есть ни конечные величины, ни величины бесконечно малые, но они и не нули. Разве мы не имеем права назвать их призраками (ghosts) исчезнувших величин? [41]

Тем не менее исчисление бесконечно малых все-таки работает. Если вы раскрутите привязанный к веревке камень над головой, а затем резко отпустите его, он улетит по прямолинейной траектории с постоянной скоростью [42] в направлении, в котором, согласно расчетам, он движется в тот момент, когда вы его отпускаете. Это еще одна идея Ньютона: движущиеся объекты склонны перемещаться по прямолинейной траектории, если какая-то другая сила не заставляет объект отклоняться в ту или иную сторону. Это и есть одна из причин, почему линейное мышление настолько естественно для нас: интуитивное восприятие времени и движения формируется у нас под воздействием явлений, которые мы наблюдаем в окружающем мире. Еще до того, как Ньютон сформулировал свои законы, мы, люди, в глубине души знали, что все вокруг нас стремится двигаться по прямой, если только нет причин двигаться иначе.

41

Дж. Беркли. Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику… // Беркли Дж. Сочинения / Сост., общ. ред. и вступит. ст. И. С. Нарского; пер. А. Ф. Грязнова, Е. Ф. Дебольской, Е. С. Лагутина, Г. Г. Майорова, А. О. Маковельского. М.: Мысль, 1978. С. 425–426. Прим. М. Г.

42

При отсутствии воздействия силы тяжести, сопротивления воздуха и т. д. и т. п. Однако на коротком интервале времени такое линейное приближение является достаточно точным.

Бесконечно малые приращения и ненужные затруднения

Критики Ньютона в чем-то были правы: его толкование производной далеко от того, что в наши дни принято называть строгой математикой. Проблема заключается в концепции бесконечно малой величины, которая на протяжении тысяч лет была для математиков камнем преткновения. Трудности начались с древнегреческого философа V столетия до нашей эры Зенона, представителя Элейской школы, который часто задавал по поводу физического мира на первый взгляд невинные вопросы, неизменно перераставшие в серьезные философские дискуссии.

Представляю вам самый знаменитый парадокс Зенона в вольном переложении. Я решаю сходить в магазин за мороженым. Конечно, я не смогу преодолеть весь путь до магазина, пока не пройду половину этого пути. А как только я пройду половину пути, я все равно не смогу добраться до магазина, пока не преодолею половину оставшегося пути. Когда я сделаю это, мне все равно предстоит преодолеть половину оставшегося расстояния – и так далее. Я могу подходить к магазину все ближе и ближе, но, сколько бы этапов этого процесса я ни прошел, на самом деле мне так и не удастся добраться до магазина. У меня всегда будет оставаться пусть крохотное, но все же ненулевое расстояние до моих двух шариков мороженого. Эта аргументация применима к любому другому пункту назначения: в равной мере невозможно перейти улицу, или сделать один-единственный шаг, или взмахнуть рукой. Любое движение исключено.

Говорят, что киник Диоген опроверг доводы Зенона довольно простым методом: он встал и прошел из одного конца комнаты в другой. Это весьма хороший довод в пользу того, что движение все же возможно, а значит, что-то не так с доводами Зенона [43] . Но где же была ошибка?

Разбейте путь в магазин на фрагменты, представленные в числовой форме. Сначала вы проходите половину пути. Затем преодолеваете половину оставшегося пути, то есть 1/4 общего расстояния, и у вас остается еще 1/4 пути. Далее половина оставшегося расстояния составляет 1/8, затем 1/16, затем 1/32. Таким образом, ваше перемещение к магазину можно представить в следующем виде:

43

Самое время обратиться к Пушкину:Движенья нет, сказал мудрец брадатый.Другой смолчал и стал пред ним ходить.Сильнее бы не мог он возразить;Хвалили все ответ замысловатый.Но, господа, забавный случай сейДругой пример на память мне приводит:Ведь каждый день пред нами Солнце ходит,Однако ж прав упрямый Галилей. Прим. М. Г.

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …

Сложив десять первых членов этой последовательности, вы получите 0,999. Сумма первых двадцати членов последовательности составит 0,999999. Другими словами, вы действительно приближаетесь – очень-очень приближаетесь – к магазину. Тем не менее, сколько бы членов этой последовательности вы ни сложили, вы никогда не получите 1.

Парадокс Зенона во многом напоминает другую головоломку: равна ли периодическая десятичная дробь 0,99999… единице?

Я видел, как люди едва не вступали в драку из-за этого вопроса [44] . По этому поводу ведутся жаркие споры на самых разных веб-сайтах, от страниц фанатов игры World of Warcraft («Вселенная Варкрафта») до форумов, посвященных творчеству Айн Рэнд. Наша естественная реакция на аргументы Зенона такова: «В конечном счете вы непременно получите свое мороженое». Но в данном случае интуиция подсказывает совсем иной ответ. Большинство людей {24} (если потребовать от них однозначного ответа) скажут, что 0,9999… не равно 1. Это число даже не похоже на единицу, это уж точно. Оно меньше единицы. Однако ненамного меньше! Подобно любителю мороженого в парадоксе Зенона, оно все ближе и ближе подходит к своей цели, но похоже на то, что так и не доберется до нее.

44

По правде сказать, речь идет о подростках из летнего математического лагеря.

24

См.: David O. Tall, Rolph L. E. Schwarzenberger. Conflicts in the Learning of Real Numbers and Limits // Mathematics Teaching, 1978, 82, p. 44–49.