Как не ошибаться. Сила математического мышления
Шрифт:
Мозг, анализирующий данное утверждение, соглашается с ним не так быстро, как в случае сложения. Разве отвечает здравому смыслу тот факт, что два набора из шести объектов дают в результате то же, что и шесть наборов из двух объектов?
Возможно, это утверждение и не отвечает здравому смыслу, но оно может стать очевидным. Вот одно из моих первых математических воспоминаний. Я лежу на полу в доме своих родителей, щекой на жестком коврике, и смотрю на стереосистему. Скорее всего, я слушаю вторую сторону «Синего альбома» Beatles. Мне, наверное, лет шесть. Это происходит в семидесятых, значит, стереосистема установлена в корпусе из ДСП с прямоугольными отверстиями на боковой панели. Восемь отверстий по горизонтали, шесть отверстий по вертикали. Я лежу и рассматриваю эти отверстия. Шесть рядов отверстий. Восемь столбцов отверстий. Фокусируя свой взгляд то на одном, то на другом, я переключаю свой мозг с рядов на столбцы и наоборот. Шесть рядов с восемью отверстиями в каждом. Восемь столбцов с шестью отверстиями в каждом.
А затем я понял: восемь групп по шесть отверстий – это то же самое, что шесть групп по восемь отверстий. И не потому, что когда-то мне объяснили правило, а потому, что иначе быть не может. Как ни подсчитывай, но количество отверстий в панели останется одним и тем же.
Как правило, мы преподаем математику в виде длинного перечня правил. Вы изучаете эти правила, чтобы подчиняться им, потому что в противном случае вы получите тройку с минусом. Но не это математика. Мы называем математикой изучение вещей, которые происходят определенным образом по той простой причине, что другого способа не существует.
Посмотрим правде в глаза: не все в математике можно сделать настолько доступным для нашей интуиции, как сложение и умножение. Дифференциальное и интегральное исчисление невозможно понять, руководствуясь только здравым смыслом. И все-таки исчисление проистекает из здравого смысла: Ньютон взял наши фактические знания о движении объектов по прямой линии, составил формальное описание этого движения, а затем на основе формальной схемы построил универсальное математическое описание движения. Имея в своем распоряжении теорию Ньютона, вы можете применить ее к решению задач, от которых у вас голова пойдет кругом, если вы не призовете на помощь формулы. Точно так же в нас заложены ментальные системы оценки вероятности неопределенных событий. Однако эти системы довольно слабы и ненадежны, особенно когда речь идет о крайне редких событиях. Именно в этом случае мы подкрепляем свою интуицию фундаментальными теоремами и методами, построив на этой основе математическую теорию вероятностей.
Специальный язык, на котором математики общаются друг с другом, – это замечательный инструмент для точного и лаконичного описания сложных идей. Но из-за непонятности этого языка у людей непосвященных может возникнуть ощущение, что данная область мысли недоступна пониманию обычного человека. Но все не так.
Математика – это как работающее на атомной энергии вспомогательное приспособление, которое вы прикрепляете к своему здравому смыслу, многократно увеличив его охват и эффективность. Несмотря на всю силу математики, ее абстрактность и символику, порой внушающую страх, истинная умственная работа, которая требуется в ней, мало чем отличается от того, как мы размышляем над решением простых повседневных задач. В этом случае, на мой взгляд, полезно представить образ Железного человека [10] , пробивающего дыру в кирпичной стене. С одной стороны, сила, пробивающая стену, порождена не мышцами Тони Старка, а совокупностью точно синхронизированных действий сервомеханизмов, которые приводит в движение компактный генератор бета-частиц. С другой стороны, с точки зрения Тони Старка, он просто пробивает стену – точно так же, как он сделал бы и без своего снаряжения, только тогда это было бы гораздо труднее.
10
Железный человек по имени Энтони Эдвард, или Тони Старк, – герой комиксов. Прим. М. Г.
Перефразируя Клаузевица, можно сказать, что математика – это продолжение здравого смысла иными средствами [11] .
С одной стороны, без строгих структур, которые предоставляет математика, здравый смысл может ввести вас в заблуждение. Именно это произошло с командующими, которые хотели укрепить броней и без того надежные части самолета. С другой – формальная математика без здравого смысла (без постоянного взаимодействия между абстрактными рассуждениями и интуитивными догадками по поводу количества, времени, пространства, движения, поведения и неопределенности) была бы всего лишь бесплодным упражнением в следовании правилам и счетоводстве [12] . Другими словами, математика была бы именно тем, чем считает ее недовольный студент, изучающий математический анализ.
11
Парафраз известной формулировки Карла фон Клаузевица: «Война есть не что иное, как продолжение государственной политики иными средствами» (К. Клаузевиц. О войне / Пер. А. Рачинского. М.: Логос; Наука, б.г. [1998]. С. 27). Прим. ред.
12
Владимир Игоревич Арнольд приводил следующие слова Годфри Харди (в двух вариантах – и оба раза с негодованием): 1) «Общая черта королевы и математики – полная бесполезность обеих» (В. Арнольд. Переориентация науки на «прикладные исследования» приведет к снижению интеллектуального уровня страны // Троицкий вариант – Наука. 2008. № 19.; 2) «Теория чисел является королевой математики вследствие своей полной бесполезности» (В. Арнольд. Нужна ли в школе математика? Доклад на Всероссийской конференции «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков» в Дубне 21 сентября 2000 года // Скепсис.. Харди написал это в начале прошлого века. Сейчас всякий раз, когда вы пользуетесь кредитной карточкой, вы (точнее, банк) используете алгоритмы шифрования транзакций, основанные на результатах теории чисел. Прим. М. Г.
В этом кроется настоящая опасность. В эссе The Mathematician («Математик») [13] , опубликованном в 1947 году, Джон фон Нейман предупреждал:
На довольно большом удалении от своего эмпирического источника и тем более во втором и третьем поколении, когда математическая дисциплина лишь косвенно черпает вдохновение из идей, идущих от «реальности», над ней нависает смертельная опасность. Ее развитие все более и более определяется чисто эстетическими соображениями, оно все более и более становится искусством для искусства. Само по себе это неплохо, если она взаимодействует с примыкающими математическими дисциплинами, обладающими более тесными эмпирическими связями, или если данная математическая дисциплина находится под влиянием людей с исключительно развитым вкусом. Но существует серьезная угроза, что математическая дисциплина будет развиваться по линии наименьшего сопротивления, что вдали от источника поток разветвится на множество ручейков и дисциплина превратится в хаотическое нагромождение деталей и сложностей. Иначе говоря, при большом отдалении от эмпирического источника или после основательного абстрактного «инбридинга» (близкородственного скрещивания. – Ю. Д.) математической дисциплине грозит опасность вырождения.
13
См.: J. von Neumann. Collected Works. Volume I: Logic, Theory of Sets and Quantum Mechanics. New York; London; Oxford; Paris: Pergamon Press, 1961. Pp. 1–9. [Приведенная далее цитата дается в пер. Ю. А. Данилова, см.: Ю. А. Данилов. Математик фон Нейман и его «Математик» // Природа. 1983. № 2. С. 86–87. Прим. перев.]
О какой математике пойдет речь в моей книге?
Если ваше знакомство с математикой ограничивается школьной программой, это означает, что вам известна весьма ограниченная, а в какой-то степени даже ложная версия этого предмета. Школьная математика состоит главным образом из совокупности фактов и правил – фактов, которые нельзя оспаривать, и правил, которые предписаны высшим авторитетом и не подлежат сомнению. Такой подход рассматривает математические концепции как нечто непреложное.
Но математика не неизменна. Даже если речь идет о базовых объектах изучения, таких как числа и геометрические фигуры, наше незнание гораздо больше знания. А то, что мы все же знаем, получено в результате огромных усилий, разногласий и недоразумений. Весь этот труд и смятение тщательно завуалированы в ваших учебниках.
Безусловно, факты фактам рознь. Никогда не было особых споров по поводу того, что 1 + 2 = 3. Но можем ли мы действительно доказать, что 1 + 2 = 3, и как это можно сделать, – вопрос, который блуждает где-то между математикой и философией. Однако это совсем другая история, и мы вернемся к ней в конце книги. Правильность вычислений в данном случае не подлежит сомнению. Проблема кроется совсем в другом. Мы не раз столкнемся с ней на этих страницах.
Математические факты могут быть простыми и сложными, поверхностными и глубокими, что делит математическую вселенную на четыре сектора:
Базовые арифметические факты, такие как 1 + 2 = 3, относятся к категории простых и поверхностных. К этой же категории принадлежат и основные тождества, в частности sin(2x) = 2sin x x cos x или формула корней квадратного уравнения. Возможно, убедить себя в истинности таких тождеств немного труднее, чем в том, что 1 + 2 = 3, но по большому счету они не так уж сложны на концептуальном уровне.
В сегменте сложных и поверхностных фактов находится, например, задача умножения двух десятизначных чисел, или вычисление сложного определенного интеграла, или (при условии, что вы пару лет учились в магистратуре) определение следа Фробениуса на модулярной форме кондуктора 2377. Можно предположить, что по какой-то причине вам понадобится найти ответ на вопрос такого рода, но поиск решения вручную, вне всяких сомнений, покажется слишком раздражающей и невыполнимой задачей. В случае модулярной формы вам, возможно, понадобится серьезное образование даже для того, чтобы понять, о чем идет речь. Однако в действительности знание этих ответов не обогащает понимание окружающего мира.