Как не ошибаться. Сила математического мышления
Шрифт:
Первоначальную идею предложил Евдокс Книдский, а Евклид включил ее в 12-ю книгу «Начал». Однако именно Архимед довел их дело до конца. В наши дни мы называем этот подход методом исчерпывания. А начинается он вот с чего.
Изображенный на этом рисунке квадрат называется «вписанный квадрат»: каждый его угол только касается окружности, но не выходит за ее границы. Зачем это делать? Потому что круг – нечто загадочное и пугающее, тогда как с квадратом все просто и ясно. Если у вас есть квадрат, длина стороны которого равна Х, его площадь равна Х умножить на Х – именно поэтому мы и называем умножение числа на самого себя
Вписанный квадрат можно разбить на четыре треугольника, каждый из которых представляет собой не что иное, как равнобедренный прямоугольный треугольник, который мы только что нарисовали [38] . Следовательно, площадь такого квадрата в четыре раза больше площади треугольника. Треугольник в свою очередь – это то, что получится, если взять квадрат 1 x 1 и разрезать его пополам, как бутерброд с тунцом.
Площадь такого бутерброда равна 1 x 1 = 1, значит, площадь каждого треугольника равна 1/2 , а площадь вписанного квадрата составляет четыре раза по 1/2 , то есть 2.
38
Точнее говоря, каждый из этих четырех фрагментов можно получить из исходного равнобедренного прямоугольного треугольника, вращая его по кругу на плоскости. Давайте примем без доказательств тот факт, что такие манипуляции не меняют площадь фигуры.
Кстати, предположим вы не знакомы с теоремой Пифагора. Так вот, на всякий случай сообщаю: вы ее все-таки знаете! Или как минимум знаете, что она должна гласить применительно к данному прямоугольному треугольнику. Ведь прямоугольный треугольник, представляющий собой нижнюю часть нашего бутерброда, точно такой же, как и верхний левый фрагмент вписанного квадрата. А его гипотенуза – сторона вписанного квадрата. Следовательно, если вы возведете длину гипотенузы в квадрат, то получите площадь вписанного квадрата, которая равна 2. Другими словами, длина гипотенузы есть число, квадрат которого равен 2, или, если использовать привычную и более лаконичную формулировку, квадратный корень из 2.
Вписанный квадрат полностью находится в пределах окружности. Если его площадь равна 2, площадь круга должна составлять минимум 2 единицы.
Теперь давайте нарисуем другой квадрат.
Этот квадрат, который обозначается термином «описанный квадрат», также касается окружности всего в четырех точках, но теперь окружность находится внутри него. Длина сторон такого квадрата равна 2 единицам, значит, его площадь составляет 4 единицы. Следовательно, теперь мы знаем, что площадь круга равна максимум 4 единицам.
Возможно, иллюстрация того, что число должно находиться в пределах от 2 до 4, производит не такое уж большое впечатление. Но Архимед только начинает. Возьмите четыре вершины вписанного квадрата и обозначьте на окружности новые точки, равноудаленные от каждой пары смежных вершин. Теперь у вас на окружности восемь точек, расположенных на равном расстоянии друг от друга. Соединив их, вы получите вписанный восьмиугольник, или, если говорить на техническом языке, «стоп-сигнал».
< image l:href="#"/>Вычислить площадь вписанного восьмиугольника немного труднее, но я не собираюсь утруждать вас тригонометрией. Важно, что мы по-прежнему имеем дело с прямыми и вершинами, а не с кривыми, поэтому данную задачу можно было решить с помощью методов, которые были в распоряжении Архимеда. Так вот, площадь восьмиугольника в два раза больше квадратного корня из 2, то есть примерно 2,83.
Вы можете сыграть в ту же игру с описанным восьмиугольником, площадь которого равна 8(2 – 1), немногим более 3,31.
Таким образом, площадь круга находится в пределах от 2,83 до 3,31.
Но зачем останавливаться на этом? Вы можете обозначить на окружности точки, равноудаленные от вершин восьмиугольника (вписанного или описанного), – и получите шестнадцатиугольник; дополнительные тригонометрические расчеты покажут, что площадь круга находится в пределах от 3,06 до 3,18. Проведите процедуру еще раз, чтобы получить 32-угольник, а затем повторите снова и снова – и вскоре получите нечто похожее на такую фигуру.
Но разве это не окружность? Разумеется, нет! Это правильный многоугольник с 65 536 сторонами! Неужели вы не видите?
Великое озарение Евдокса и Архимеда состоит в том, что на самом деле не имеет значения, что это за фигура – окружность или многоугольник с очень большим количеством очень коротких сторон. Площади этих двух фигур достаточно близки для любых возможных целей. Площадь небольшой области между окружностью и многоугольником была «исчерпана» в процессе нашего неутомимого последовательного приближения. Да, окружность – это кривая, это действительно так. Но каждый крохотный фрагмент этой кривой можно приблизить к идеально прямой линии, подобно тому как крохотный кусочек поверхности Земли, на котором мы стоим, приближен к идеально ровной плоскости [39] .
39
Во всяком случае, если вы, как и я, живете на Среднем Западе США.
Следует запомнить девиз: локально прямая, глобально кривая.
Или лучше представьте: вы мчитесь по направлению к окружности с большой высоты; сначала вы видите всю окружность;
затем только один сегмент дуги окружности;
а затем еще более мелкий сегмент.
Продолжайте это до тех пор, пока, приближаясь все больше и больше, вы не увидите нечто напоминающее прямую линию. Ползущему по кругу муравью, видящему лишь пространство, непосредственно его окружающее, представляется, будто он ползет по прямой. Точно так же человеку, стоящему на поверхности Земли, кажется, что он стоит на плоскости (если только он не окажется настолько проницательным, что обратит внимание, как на горизонте поднимаются приближающиеся издалека объекты).
Суть математического анализа, изложенного на одной странице
Теперь я хочу объяснить вам суть математического анализа. Готовы? Вот идея, за которую мы должны благодарить Исаака Ньютона: в идеальном круге нет ничего особенного. Каждая гладкая кривая при достаточном увеличении масштаба напоминает прямую линию [40] . Не имеет значения, насколько изогнута или закручена эта кривая, – главное, что у нее нет острых углов.
40
Математический объект, который в каждой точке локально выглядит как обычное евклидово пространство, называется многообразием. Пример одномерного многообразия – окружность или любая другая кривая без углов и концов, например парабола. Примеры двумерных многообразий: сфера – поверхность шара; тор – поверхность баранки; крендель – поверхность кренделя; бутылка Клейна – в нашем обычном трехмерном пространстве невозможно представить эту поверхность, бутылка Клейна получается, если вытянуть горлышко обычной бутылки и соединить ее с донышком, предварительно проделав в нем дырку нужного размера и потом сгладив место соединения; фокус состоит в том, что вставить надо с внутренней стороны, иначе получится обычный тор, и при этом без пересечения стенки бутылки. Некоторые свойства многообразий описывает, в частности, уже упоминавшаяся гипотеза Пуанкаре. Прим. М. Г.