Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
Переход
O III
N II
O I
, A
A
, A
A
, A
A
^3P - ^1D
5006,84
0,021
6583,4
0,0030
6300,23
0,0069
^3P - ^1D
4958,91
0,0071
6548,1
0,00103
6363,88
0,0022
^3P - ^1D
4931,0
1,9
·
10
6527,4
4,2
·
10
6392
1,1
·
10
^1D - ^1S
4363,21
1,6
5754,8
1,08
5577,35
1,28
Как было установлено, интенсивные запрещённые линии могут возникать только из метастабильных состояний, т.е. из таких, из которых нет других переходов вниз, кроме запрещённых (в противном случае гораздо чаще происходят разрешённые переходы, чем запрещённые). Но продолжительность жизни атома в метастабильном состоянии очень велика (например, для иона O в состоянии ^1D, из которого испускаются линии N и N, она равна 38 секундам). Следовательно, для того чтобы мог совершиться спонтанный переход из метастабильного состояния, необходимо, чтобы атом в течение длительного времени не был подвержен каким-либо возмущениям: ни воздействию излучения, ни столкновениям. Это значит, что для появления запрещённых линий необходимы малая плотность излучения и малая плотность вещества.
Отсутствие запрещённых линий в звёздных спектрах говорит о том, что в атмосферах звёзд указанные условия не выполняются. Наоборот, на основании наличия многочисленных и весьма интенсивных запрещённых линий в спектрах газовых туманностей можно сделать вывод о крайне малой плотности излучения и плотности вещества в этих объектах.
Условия, необходимые для появления запрещённых линий, могут быть выражены в виде некоторых неравенств. Для их получения рассмотрим атом, обладающий тремя энергетическими уровнями. При этом будем считать, что переход из второго состояния в первое запрещён (т.е. второе состояние метастабильное), а переходы из третьего состояния вниз разрешены. В таком случае A< Возбуждение атома может происходить как под действием излучения, так и при столкновениях. Очевидно, что число возбуждений второго уровня будет по порядку таким же, как и число возбуждений третьего уровня. Следовательно, запрещённая линия по своей интенсивности будет сравнима с разрешёнными линиями, если из второго состояния будут в основном происходить спонтанные переходы. Число спонтанных переходов из второго состояния в 1 см^3 за 1 с равно nA. Вместе с ними могут совершаться и переходы из второго состояния под действием излучения, из которых в данном случае гораздо чаще будут переходы вверх, чем вниз (так как коэффициенты Bik пропорциональны коэффициентам Aki). Число переходов 2->3 при поглощении излучения равно nB Следовательно, для того чтобы излучение не мешало спонтанным переходам из метастабильного состояния, должно выполняться условие A >> B . (25.1) Представим
Из второго состояния возможны также переходы при столкновениях со свободными электронами. Число ударов первого рода в 1 см^3 за 1 с мы обозначим через nb, а число ударов второго рода — через na. Так как удары первого рода могут производиться только теми электронами, энергия которых превосходит энергию возбуждения атома h а удары второго рода-—электронами с любой энергией, то обычно a>>b. Таким образом, для того чтобы столкновения не препятствовали излучению квантов в запрещённой линии, должно выполняться неравенство
A
>>
a
.
(25.3)
Величина a может быть представлена в виде a=nev, где ne — концентрация свободных электронов, — среднее эффективное сечение для ударов второго рода, v — средняя скорость свободного электрона. Поэтому вместо (25.3) имеем
A
>>
n
e
v
.
(25.4)
Неравенства (25.2) и (25.4) выражают собой условия, необходимые для появления запрещённых линий, сравнимых по интенсивности с разрешёнными линиями.
В газовых туманностях величины W и ne чрезвычайно малы. Вследствие этого неравенства (25.2) и (25.4) выполняются даже для линий с очень малыми значениями A т.е. запрещённых очень сильными правилами отбора.
По наличию запрещённых линий в спектре туманности при помощи приведённых неравенств можно оценить верхние пределы величин W и ne. Например, для линии N и N на основании табл. 36 имеем A=0,028 с^1. Далее при грубой оценке можно принять: 10^1 см^2, v10 см/с. Поэтому из неравенства (25.4) получаем, что в туманности ne<<10 см^3. Разумеется, линии N и N будут видны и при ne10 см^3, но в этом случае населённость второго уровня уже будет уменьшаться ударами второго рода. При ne>>10 см^3 удары второго рода будут «гасить» эти линии.
Как мы видели, условия в туманностях таковы, что атомы, попавшие в метастабильное состояние, могут находиться в нём очень долго (до спонтанного перехода вниз). Поэтому в метастабильных состояниях должно накопиться огромное число атомов. Очевидно, что этот процесс должен происходить не только в туманностях, но и в других объектах с малыми значениями величин W и ne
Подчеркнём, что только благодаря накоплению атомов в метастабильных состояниях и излучаются интенсивные запрещённые линии, так как интенсивность линии пропорциональна числу атомов в исходном состоянии и вероятности соответствующего спонтанного перехода, а вероятности спонтанных переходов из метастабильных состояний очень малы.
Вместе с тем накопление атомов в метастабильных состояниях может приводить к возникновению линий поглощения, для которых эти состояния являются нижними уровнями. Примером может служить линия поглощения 3889 A, имеющая нижним уровнем метастабильное состояние 2^2S гелия. В частности, эта линия наблюдается в спектре звезды Ориона, находящейся в туманности Ориона.
Вопрос об условиях, необходимых для появления запрещённых линий, и о накоплении атомов в метастабильных состояниях был подробно рассмотрен В. А. Амбарцумяном [6]. С этим вопросом приходится встречаться при изучении не только газовых туманностей, но и некоторых других объектов: оболочек новых звёзд, комет и т.д.
2. Вероятности столкновений.
Большинство запрещённых линий в спектрах газовых туманностей возникает вследствие возбуждения атомов электронным ударом. Поэтому для всех расчётов, связанных с излучением туманностей в запрещённых линиях, необходимо знать вероятности неупругих столкновений атомов со свободными электронами.
Рассмотрим переходы атома между состояниями i и j под действием электронных ударов. Число ударов первого рода в 1 см^3 за 1 с мы обозначим через nibij. При таких ударах происходят переходы атома из нижнего состояния i в верхнее состояние j за счёт энергии электрона. Число ударов второго рода в 1 см^3 за 1 с обозначим через niaji. При таких ударах совершаются обратные переходы, причём энергия возбуждения атома передаётся электрону.
Величины bij и aji характеризующие вероятности неупругих столкновений, связаны между собой простым соотношением. Для получения этого соотношения рассмотрим состояние термодинамического равновесия. В этом случае на основании принципа детального равновесия имеем
n
i
b
ij
=
n
j
a
ji
.
(25.5)
Но при термодинамическом равновесии распределение атомов по состояниям даётся формулой Больцмана. Поэтому из (25.5) находим
b
ij
=
a
ji
gj
gi
exp
–
hij
kT
.
(25.6)
Очевидно, что полученное соотношение справедливо во всех случаях, когда имеет место максвелловское распределение электронов по скоростям при температуре T.
Величина aji очень слабо зависит от температуры электронного газа, так как удары второго рода могут производиться электронами с любой скоростью (в этом случае электрон не затрачивает энергию, а получает). Наоборот, величина bij зависит от температуры очень сильно, причём bij тем больше, чем больше T. Это обусловлено тем, что удары первого рода могут производить лишь те электроны, энергия которых больше энергии возбуждения атома. В выражении (25.6) зависимость bij от температуры даётся в основном экспоненциальным членом.
Величины aji и bij выражаются через эффективные сечения для столкновений атомов с электронами. Пусть ij(v) — эффективное сечение для удара первого рода между атомом и свободным электроном со скоростью v и nef(v)dv — число электронов со скоростями от v до v+dv в 1 см^3. Мы, очевидно, имеем
b
ij
=
n
e
v
ij
(v)
vf(v)
dv
,
(25.7)
где mv^2=hij Для величины aji аналогично получаем
a
ji
=
n
e
0
ji
(v)
vf(v)
dv
.
(25.8)
На основании квантовомеханических вычислений можно считать, что в случае метастабильных состояний эффективные поперечные сечения для столкновений обратно пропорциональны энергии электрона. Поэтому величину ij(v) можно представить в виде
ij
(v)
=
h^2
4m^2
(i,j)
giv^2
,
(25.9)
где (i,j) — безразмерное эффективное сечение (порядка единицы). Величина ji(v) даётся аналогичной формулой с заменой gi на gj.
Подставляя (25.9) в (25.7) и пользуясь максвелловским выражением (23.6) для функции f(v), получаем
a
ji
=
n
e
h^2
4m^2
m
2kTe
1/2
(i,j)
gi
exp
–
hij
kTe
=
=
8,54·10
ne
Te
(i,j)
gi
exp
–
hij
kTe
.
(25.10)
Для величины aji находим
a
ji
=
8,54·10
ne
Te
(i,j)
gj
(25.11)
Значения величины (i,j) для ряда ионов были вычислены Ситоном. Часть полученных им результатов приведена в табл. 37.
Таблица 37
Эффективные поперечные сечения
для столкновений
Конфигу-
рация
Ион
(1,2)
(1,3)
(2,3)
2p^2
N
II
2,39
0,223
0,46
O
III
1,73
0,195
0,61
F
IV
(1,21)
(0,172)
(0,58)
Ne
V
(0,84)
(0,157)
0,53
2p^3
O
II
1,44
0,218
1,92
F
III
(1,00)
(0,221)
(3,11)
Ne
IV
(0,68)
(0,234)
(3,51)
Na
V
0,43
(0,255)
(3,49)
2p
F
II
(0,95)
(0,057)
0,17
Ne
III
0,76
0,077
0,27
Na
IV
(0,61)
(0,092)
(0,30)
Mg
V
0,54
(0,112)
(0,30)
Вычисленные значения величия (i,j) отличаются от точных значений, по-видимому, не более чем на 40%, оценки (числа в скобках) — не более чем вдвое.
3. Интенсивности запрещённых линий.
Если нам известны вероятности столкновений, возбуждающих метастабильные состояния, и эйнштейновские коэффициенты вероятностей спонтанных переходов из этих состояний, то мы можем легко вычислить интенсивности запрещённых линий. Такие вычисления сильно упрощаются вследствие полной прозрачности туманностей для излучения в запрещённых линиях, обусловленной чрезвычайной малостью атомного коэффициента поглощения в этих линиях.
Для определения интенсивностей линий надо найти населённости энергетических уровней. Мы сейчас ограничимся рассмотрением только трёх нижних уровней атома. Как видно из рис. 32, в наиболее интересных случаях этого вполне достаточно.
Принимая во внимание переходы под действием соударений и спонтанные переходы, получаем следующие уравнения стационарности для второго и третьего состояний атома:
n
(
A
+
a
+
b
)=
n
b
(
A
+
a
),
n
(
A
+
A
+
a
+
a
)=
n
b
+
n
b
.
(25.12)
Решая эти уравнения относительно величин n и n, находим
n
=
n
(A+A+a+a)b+(A+a)b
(A+A+a+a)(A+a)+(A+a)b
,
(25.13)
n
=
n
b(A+a+b)+bb
(A+A+a+a)(A+a)+(A+a)b
.
(25.14)
Формулы (25.13) и (25.14) справедливы при любых концентрациях свободных электронов ne от которых зависят величины aji и bij. В двух предельных случаях — при больших и малых значениях ne — эти формулы существенно упрощаются.
При больших значениях ne мы можем пренебречь спонтанными переходами по сравнению с переходами под действием столкновений. Легко видеть, что в этом случае, как и следовало ожидать, получается больцмановское распределение атомов по состояниям. Например, из формулы (25.13) при использовании соотношения (25.6) находим
n
=
n
(a+a)b+ab
(a+a)a+ab
=
n
g
g
exp
–
h
kTe
.
(25.15)
При малых значениях ne мы можем пренебречь всеми переходами из возбуждённых состояний под действием столкновений по сравнению со спонтанными переходами. В данном случае формулы (25.13) и (25.14) принимают вид
n
=
n
A
b
+
A
A+A
b
,
(25.16)
n
=
nb
A+A
(25.17)
В
При помощи полученных выражений для населённостей уровней мы можем определить интенсивности запрещённых линий. Найдём, например, отношение интенсивностей линий, возникающих при переходах 2->1 и 3->2. Пользуясь формулами (25.13) и (25.14), получаем
E
E
=
nA
nA
=
A
A
x
x
(A+A+a+a)b+(A+a)b
b(A+a+b)+bb
.
(25.18)
При больших концентрациях свободных электронов из этой формулы следует
E
E
=
A
A
g
g
exp
h
kTe
.
(25.19)
При малых значениях ne формула (25.18) даёт
E
E
=
A
A
+1
b
b
+1
.
(25.20)
Найденные формулы для интенсивностей запрещённых линий будут применены в дальнейшем не только к газовым туманностям, но и к оболочкам новых звёзд.
Как уже говорилось, при малых значениях ne (и вместе с тем при малых значениях W) происходит сильное накопление атомов в метастабильных состояниях. Это хорошо видно из формул (25.16) и (25.17), согласно которым населённость возбуждённого уровня тем больше, чем меньше вероятности спонтанных переходов из него. Если бы мы считали переход из второго состояния вниз запрещённым, а переходы из третьего состояния разрешёнными, то число атомов во втором состоянии было бы гораздо больше, чем в третьем. Иными словами, населённость метастабильного уровня значительно превосходит населённость обычного уровня. Что же касается интенсивности запрещённой линии, то, как видно из формулы (25.20), она примерно такого же порядка, что и интенсивность разрешённой линии.
4. Электронные температуры и концентрации.
Интенсивность запрещённой линии какого-либо атома в спектре туманности зависит от количества этих атомов, от концентрации свободных электронов и от температуры электронного газа. Поэтому по наблюдённым интенсивностям запрещённых линий в спектре туманности можно определять значения указанных величин.
Для определения электронной температуры туманности широко используется способ, основанный на измерении относительных интенсивностей запрещённых линий иона O III. Этот ион обладает двумя метастабильными состояниями, при переходах из которых возникают линии 4363 A и N+N (см. рис. 32). Возбуждение упомянутых состояний производится электронным ударом. Так как для возбуждения свечения в линии 4363 A электрон должен обладать большей энергией, чем для возбуждения свечения в линиях N и N, то отношение интенсивностей этих линий (т.е. величина E/EN+N) должно увеличиваться с ростом Te.
Полученные выше формулы для населённостей метастабильных состояний и для интенсивностей запрещённых линий можно непосредственно применить к иону O III. Назовём три нижних состояния этого иона (основное и два метастабильных) состояниями 1, 2 и 3. Если считать, что концентрация свободных электронов в туманности мала, то отношение интенсивностей линий N+N и 4363 A будет определяться формулой (25.20).
Перейдём здесь от величин bij к величинам aji при помощи соотношения (25.6). Это позволит нам в явном виде выразить зависимость отношения интенсивностей линий N+N и 4363 A от температуры, так как величины aji от Te почти не зависят. Выполнив указанный переход, находим
EN+N
E
=
A
A
+1
ga
ga
exp
h
kTe
.
(25.21)
Формула (25.21) была впервые получена В. А. Амбарцумяном [6]. Так как тогда не были известны эффективные сечения для столкновений, то он принял ga/ga1. Теперь на основании формулы (25.11) и табл. 37 получаем ga/ga=(1,2)/(1,3)=8,9. Учитывая также, что в данном случае A/A=0,14, вместо (25.21) имеем
EN+N
E
=
8,74
exp
33000
Te
.
(25.22)
Эта формула и даёт возможность определять Te по получаемому из наблюдений отношению интенсивностей линий N+N и 4363 A.
Изложенный метод определения электронных температур туманностей был использован в работах Мензела с сотрудниками [9]. Для большого числа туманностей они получили значения Te в интервале от 7000 до 25 000 K. Эти значения мало отличаются от тех, которые были найдены путём рассмотрения энергетического баланса свободных электронов (см. § 23).
Если электронная концентрация в туманности не является малой, то на населённости метастабильных уровней влияют удары второго рода. В этом случае отношение интенсивностей линий N+N и 4363 A будет определяться формулой (25.18). Пользуясь формулами (25.10) и (25.11), а также табл. 36 и 37, вместо формулы (25.18) приближённо получаем
EN+N
E
=
0,0753
exp
33000
Te
x
x
1 + 2,67·10
Te
ne
1 + 2300
Te
ne
.
(25.23)
Как и следовало ожидать, при малых электронных концентрациях (приблизительно при ne<10 см^3, если Te порядка 10 кельвинов) формула (25.23) переходит в формулу (25.22). С увеличением ne роль ударов второго рода возрастает и отношение интенсивностей линий становится зависящим не только от Te, но и от ne. Однако при больших значениях ne (примерно при ne>10 см^3) отношение интенсивностей линий опять зависит только от Te и определяется формулой
EN+N
E
=
0,0753
exp
33000
Te
.
(25.24)
Эта формула может быть также получена непосредственно из формулы (25.19) при подстановке в неё численных значений параметров. В данном случае переходы под действием столкновений происходят чаще спонтанных переходов и распределение атомов по уровням является больцмановским.
Для определения электронной температуры туманности по отношению интенсивностей запрещённых линий можно использовать не только ион O III, но и другие ионы. В частности, к ним относится ион N II, обладающий двумя метастабильными состояниями, из которых испускаются линия 5755 A и дублет 6548 и 6584 A. Применяя формулу (25.18) к иону N II, получаем
E
E
=
0,0162
exp
25000
Te
1 + 1,94·10
Te
ne
1 + 320
Te
ne
.
(25.25)
При малых и больших значениях ne при помощи этой формулы может быть найдена температура Te без знания ne.
В случае промежуточных значений ne (когда удары второго рода влияют на населённости метастабильных уровней, но больцмановское распределение атомов по уровням ещё не установилось) отношение интенсивностей запрещённых линий зависит не только от Te, но и от ne. В этом случае путём одновременного использования формул (25.23) и (25.25) можно пытаться определить как электронную температуру, так и электронную концентрацию. Однако этот способ нахождения Te и ne может применяться сравнительно редко, так как в большинстве туманностей электронная концентрация мала (как было выяснено в §24, ne10^3-10 см^3).
Более удобно определять электронную концентрацию в туманностях по отношению интенсивностей линий 3726 и 3729 A, принадлежащих иону O II. Если исходные уровни этих линий рассматривать в качестве состояний 2 и 3, то отношение интенсивностей линий будет даваться формулой, аналогичной формуле (25.18) (с заменой A на A). При подстановке в эту формулу числовых значений параметров получаем
E
E
=
0,35
1 + 1,43
Te
ne
1 + 10
Te
ne
.
(25.26)
Мы видим, что в формулу (25.26) не входит содержащий температуру экспоненциальный член, который характерен для формул (25.23) и (25.25). Объясняется это близостью друг к другу состояний 2 и 3, вследствие чего h<
Интересно отметить, что электронная концентрация, получаемая по отношению интенсивностей запрещённых линий, не зависит от расстояния до туманностей. В то же время электронная концентрация, определяемая по интенсивностям бальмеровских линий, т.е. по формуле (24.15), от этого расстояния зависит. Поэтому представляется возможность находить расстояния до туманностей путём сравнения электронных концентраций, определяемых указанными методами. Пока этот способ не даёт надёжных результатов, но его, по-видимому, можно усовершенствовать.
5. Химический состав туманностей.
По отношению интенсивностей линий в спектре туманности, принадлежащих разным атомам, можно определить относительное содержание этих атомов в туманности. Такие определения могут быть выполнены как по линиям, возникающим в результате столкновений, так и по линиям, имеющим рекомбинационное происхождение.
Пусть E — количество энергии, излучаемое туманностью за 1 с в запрещённой линии, соответствующей переходу 2->1 данного атома. Эта величина может быть представлена в виде
E
=
n
A
h
V
,
(25.27)
где n — число атомов во втором состоянии в 1 см^3 и V — объём туманности, светящийся в рассматриваемой линии (как мы знаем из § 23, атомы в разных стадиях ионизации находятся в разных зонах туманности).
Если плотность туманности мала, то число атомов n определяется формулой (25.16). Первое слагаемое в скобках этой формулы соответствует столкновениям, возбуждающим непосредственно второй уровень, а второе слагаемое — столкновениям, возбуждающим третий уровень, и последующим переходам атома на второй. Обычно второе слагаемое значительно меньше первого. Поэтому вместо формулы (25.27) приближённо получаем
E
=
n
b
h
V
.
(25.28)
Аналогичная формула может быть написана и для какого-либо другого атома. Из этих формул имеем
E
E'
=
nbV
n'b''V'
,
(25.29)
где штрихами обозначены величины, относящиеся ко второму атому. Из наблюдений можно найти отношение интенсивностей линий E/E' и отношение V/V' объёмов, светящихся в этих линиях. Поэтому формула (25.29) позволяет определить величину n/n' представляющую собой отношение концентраций рассматриваемых атомов. Очевидно, что для таких определений должны быть предварительно теоретически найдены вероятности возбуждающих столкновений [а при более точных подсчётах с использованием формулы (25.16) — вероятности спонтанных переходов].
Свечение туманностей в линиях, возникающих в результате фотоионизаций и рекомбинаций, было рассмотрено в § 24. На основании формулы (24.9), количество энергии, излучаемое туманностью за 1 с в бальмеровской линии водорода, может быть записано в виде
E
k
=
z
k
A
k
h
k
n
e
n
V
H
,
(25.30)
где zk– величины, определяемые системой уравнений (24.3), и VH — объём туманности, светящийся в бальмеровских линиях. Подобные формулы можно написать и для других атомов, линии которых возникают аналогичным путём. При помощи этих формул, как и выше, можно найти относительные концентрации атомов. Чтобы сделать это, надо знать вероятности спонтанных переходов и рекомбинаций.
Следует заметить, что изложенным методом определяется концентрация атомов в определённой стадии ионизации (например, по линиям N и N — концентрация атомов дважды ионизованного кислорода). Чтобы оценить долю атомов рассматриваемого элемента в других стадиях ионизации, приходится пользоваться ионизационной формулой.
Химический состав планетарных туманностей по интенсивностям эмиссионных линий определяли Аллер и Мензел [9]. Полученные ими данные об относительных числах атомов разных элементов приведены в табл. 38 (число атомов водорода условно принято за 1000). В той же таблице для сравнения приведены данные об относительных числах атомов в атмосферах Солнца и звезды Sco, полученные совершенно другим методом — по интенсивностям линий поглощения.
Таблица 38
Химический состав планетарных