Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
i-1
k=1
A
ik
.
Приравнивая два последних выражения, получаем
n
i
i-1
k=1
A
ik
=
n
e
n
C
i
(T
e
)
+
k=i+1
n
k
A
ki
+
n
B
i
i
(i=2, 3, 4, …).
(24.1)
Величина i,
В случае А будем предполагать, что оптическая толщина туманности в лаймановских линиях очень мала по сравнению с 1. Тогда будет малой и плотность излучения i. Поэтому, пренебрегая последним членом в каждом из уравнений (24.1), находим
n
i
i-1
k=1
A
ik
=
n
e
n
C
i
(T
e
)
+
k=i+1
n
k
A
ki
(i=2, 3, 4, …).
(24.2)
В случае В (который для наблюдаемых туманностей гораздо ближе к действительности, чем предыдущий случай) оптическая толщина туманности в лаймановских линиях считается очень большой. В этом случае почти все кванты, излучаемые при переходе i->1, поглощаются при обратном переходе, т.е. niAi. Следовательно, вместо системы уравнений (24.1) имеем
n
i
i-1
k=2
A
ik
=
n
e
n
C
i
(T
e
)
+
k=i+1
n
k
A
ki
(i=3, 4, 5, …).
(24.3)
Таким образом, в обоих случаях мы пришли к системе линейных алгебраических уравнений относительно чисел zi=ni/nen.
Система уравнений (24.3) для водорода была приближённо решена Силлье, который использовал 12 первых уравнений (i=3, 4, …, 14) и отбросил остальные. Коэффициент рекомбинации Ci(Te) находился при этом по формуле (23.7).
Позднее Мензел и Бэкер [5] рассмотрели системы уравнений (24.2) и (24.3), взяв более точное выражение для коэффициента рекомбинации (с гаунтовским множителем, отличным от единицы) и приняв во внимание более высокие уровни. В их таблицах приведены значения величины bi определённой соотношением
n
i
=
b
i
n
e
n
i^2h^3
(2mkTe)^3/^2
exp
i
kTe
,
(24.4)
т.е. показывающей, во сколько раз значение ni/nen
Ситон получил более точные решения систем уравнений (24.2) и (24.3). Искомая величина zi была при этом представлена в виде
z
i
=
C
i
+
k=i+1
Q
ki
C
k
,
i-1
k=k
A
ik
(24.5)
где k=1 в случае А и k=2 в случае В, а величины Qki (зависящие только от эйнштейновских коэффициентов спонтанных переходов и от значения k) составляют элементы «каскадной матрицы». Очевидно, что величина Qki определяет вероятность попадания атома на уровень i с уровня k любым путём. Вычисленные Ситоном значения величины biexp(i/(kTe)) приведены в табл. 32.
Таблица 32
Значения величины bi exp
i
kTe
i
T
e
, K
Случай А
Случай B
10 000
20 000
10 000
20 000
2
0,193
0,315
–
–
3
0,213
0,332
0,668
1,013
4
0,244
0,364
0,540
0,792
5
0,273
0,394
0,519
0,739
6
0,299
0,421
0,520
0,725
7
0,322
0,443
0,529
0,722
8
0,341
0,463
0,540
0,725
9
0,360
0,480
0,552
0,730
10
0,376
0,480
0,552
0,730
15
0,434
0,547
0,605
0,756
20
0,472
0,580
0,635
0,772
25
0,499
0,603
0,656
0,785
30
0,520
0,621
0,673
0,795
Мы видим, что величина bi сильно отличается от единицы (а при i->, как и следовало ожидать, bi– >1). На этом основании может сложиться впечатление, что в отношении распределения атомов по состояниям туманности близки к термодинамическому равновесию. В действительности это верно только в отношении величин ni/nen (при i>=2 в случае А и при i>=3 в случае В). Если же рассматривать степень возбуждения атомов nin то эта величина очень далека от своего значения при термодинамическом равновесии. В самом деле, из формул (23.14) и (24.4) мы получаем