Курс теоретической астрофизики

Соболев Виктор Викторович

+

+

0

K(|-''|)

+

'

d''

.

(3.5)

С другой стороны, из уравнения (3.3) имеем

(0,)

=

K

+

0

K(|-''|)

('',0)

d''

.

(3.6)

Сравнение (3.5) и (3.6) даёт

+

'

=

(')

,

(3.7)

где

обозначено

(0,)

=

.

(3.8)

Из (3.7) следует (при '>):

(,')

=

('-)

+

0

(+'-)

d

.

(3.9)

Таким образом, резольвента (,') выражается через функцию , зависящую только от одного аргумента.

Для определения функции может быть использовано уравнение

=

K

+

0

K(|-'|)

(')

d'

,

(3.10)

представляющее собой уравнение (3.6) при учёте (3.8). Другое уравнение для определения будет получено ниже.

2. Вспомогательные уравнения.

Через функцию выражается решение уравнения (3.1) при любой функции g. Поэтому функция должна играть фундаментальную роль в теории рассматриваемых уравнений. С целью определения этой функции мы сейчас получим некоторые вспомогательные уравнения. Вместе с тем, как мы увидим дальше, эти уравнения представят интерес и сами по себе.

Рассмотрим уравнение

S(,x)

=

0

K(|-'|)

S(',x)

d'

+

e

^{– x}

,

(3.11)

являющееся частным случаем уравнения (3.1). На основании формулы (3.2) имеем

S(,x)

=

e

^{– x}

+

0

(',)

e

^{– x'}

d'

.

(3.12)

Умножая (3.7) на e^{– x'}, интегрируя по ' в пределах от 0 до и учитывая (3.12), получаем

S(,x)

=-

xS(,x)

+

1

+

0

(')

e

^{– x'}

d'

.

(3.13)

Но из (3.12) следует

S(0,x)

=

1

+

0

e

^{– x}

d

.

(3.14)

Поэтому находим

S(,x)

=-

xS(,x)

+

S(0,x)

.

(3.15)

Интегрирование

уравнения (3.15) даёт

S(,x)

=

S(0,x)

e

^{– x}

+

0

e

^{– x(-')}

(')

d'

.

(3.16)

В большинстве задач о переносе излучения ядро интегрального уравнения (3.1) представляется в виде

K

=

b

a

A(y)

e

^{– y}

dy

,

(3.17)

где A(y) — произвольная функция, a и b — некоторые числа. В этом случае для определения функции S(0,x) получаются сравнительно простые уравнения. В свою очередь искомая функция выражается через функцию S(0,x).

Если K даётся формулой (3.17), то из уравнения (3.11) следует

S(0,x)

=

1

+

b

a

A(y)

dy

0

S(,x)

e

^{– y}

d

.

(3.18)

Умножая (3.15) на e^{– y}, интегрируя по в пределах от 0 до и принимая во внимание (3.14), находим

0

S(,x)

e

^{– y}

d

=

S(0,x)S(0,y)

x+y

.

(3.19)

Подстановка (3.19) в (3.18) даёт

S(0,x)

=

1

+

S(0,x)

b

a

A(y)

S(0,y)

x+y

dy

.

(3.20)

Мы получили нелинейное интегральное уравнение для определения S(0,x), которое легко может быть решено численно.

Из уравнения (3.20) можно также получить линейное интегральное уравнение для определения S(0,x). Умножая (3.20) на A(x)/(x-z) и интегрируя по x в пределах от a до b после небольших преобразований находим

S(0,z)

1

–

2

b

a

A(x)

xdx

x^2-z^2

=

1

–

b

a

A(x)

S(0,x)

x-z

dx

.

(3.21)

Решение этого уравнения может быть получено в явном виде.

3. Определение функции .

Сравнивая между собой уравнения (3.10) и (3.11), мы видим, что свободный член уравнения (3.10) является суперпозицией свободных членов уравнения (3.11). Поэтому имеем

=

b

a

A(x)

S(,x)

dx

.

(3.22)

Умножая (3.16) на A(x) и интегрируя по x в пределах от a до b, находим

=

L

+

0

L(-')

(')