Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
0
(,')
e
– '/
d'
.
(3.37)
Отсюда на основании (3.12) следует:
I(0,)
=
0
g
S
,
1
d
.
(3.38)
Это и есть искомая формула для интенсивности излучения. Таким образом, для нахождения функции I(0,) при любых источниках
Однако, как уже сказано, во многих частных случаях для определения интенсивности излучения нам должна быть известна только функция S(0,x). Поскольку эта функция определяется непосредственно из уравнений (3.20) или (3.21), то для нахождения I(0,) в этих случаях не требуется знания функции .
Рассмотрим следующие частные случаи расположения источников излучения:
1. Пусть функция g убывает с оптической глубиной экспоненциально, т.е.
g
=
e
– m
.
(3.39)
В данном случае, пользуясь формулой (3.19), находим
I(0,)
=
S(0,m)S(0,1/)
1+m
.
(3.40)
2. Допустим, что источники излучения расположены в среде равномерно, т.е. g=1. В этом случае, полагая в (3.40) m=0, получаем
I(0,)
=
S(0,0)
S
0
,
1
.
(3.41)
Подстановка S(0,0) из (3.27) в (3.41) даёт
I(0,)
=
S
0
,
1
1
–
2
b
a
A(x)
dx
x
– 1/2
.
(3.42)
3. Предположим, что g=. На основании формулы (3.38) имеем
I(0,)
=
0
S
,
1
d
.
(3.43)
Для определения интеграла (3.43) воспользуемся уравнением (3.15). Умножая это уравнение на и интегрируя по от 0 до , получаем
x
0
S(,x)
d
=
0
S(,x)
d
+
S(0,x)
0
d
.
(3.44)
Но из формул (3.38) и (3.41) следует
x
0
S(,x)
d
=
S(0,0)
S(0,x)
.
(3.45)
Поэтому вместо (3.44) находим
x
0
S(,x)
d
=
S(0,x)
1
x
S(0,0)
+
0
d
.
(3.46)
Для
0
d
=
S^2(0,0)
b
a
A(x)
S(0,x)
dx
x^2
.
(3.47)
Заменяя в (3.46) x на 1/ и подставляя (3.47), окончательно находим
I(0,)
=
S(0,0)
S
0,
1
x
x
+
S(0,0)
b
a
A(x)
S(0,x)
dx
x^2
.
(3.48)
Аналогично, пользуясь формулой (3.38) и уравнением (3.15), можно найти интенсивность излучения I(0,) и в случае, когда g=n при любом целом n.
4. Будем считать, что источники излучения расположены на бесконечно большой глубине. В этом случае функция S, определяемая однородным уравнением (3.28), связана с функцией соотношением (3.30). Умножая это соотношение на e– / и интегрируя по от 0 до , находим
I(0,)
(1-k)
=
S(0)
1
+
0
e
– /
d
.
(3.49)
Отсюда, при использовании формулы (3.14), следует:
I(0,)
=
S(0)
S(0,1/)
1-k
.
(3.50)
Мы видим, что во всех рассмотренных случаях интенсивность излучения I(0,) выражается через функцию S(0,x) весьма простыми формулами. В дальнейшем эти формулы будут неоднократно применяться.
6. Применение к звёздным фотосферам.
Применим изложенный выше метод к решению задачи о переносе излучения через фотосферу звезды. Как мы знаем, при предположении о независимости коэффициента поглощения от частоты указанная задача сводится к интегральному уравнению Милна
S
=
1
2
0
E
|-'|
S(')
d'
.
(3.51)
Мы видим, что это уравнение является частным случаем однородного уравнения (3.28) при
K
=
1
2
E
=
1
2
1
e
– x
dx
x
,
(3.52)
т.е. при A(x)= 1/2 x, a=1 и b=.