Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
4. Зависимость температуры и плотности от глубины.
Ранее была найдена зависимость температуры от оптической глубины в фотосфере. При этом были сделаны предположения о лучистом равновесии и локальном термодинамическом равновесии. Теперь мы найдём зависимость температуры и плотности от геометрической глубины в фотосфере. Для этого нам придётся сделать ещё одно предположение — о механическом равновесии фотосферы. Очевидно, что справедливость этого предположения для подавляющего большинства звёзд не вызывает сомнений (кроме звёзд типа Вольфа — Райе, новых и подобных им звёзд, которых мы сейчас рассматривать не будем).
Будем считать, что каждый
dp
=-
g
dr
,
(4.42)
где p — давление, — плотность и g — ускорение силы тяжести в фотосфере.
Очевидно, что газ в фотосфере можно считать идеальным. Поэтому к уравнению (4.42) добавим ещё уравнение состояния идеального газа:
p
=
R*
T
,
(4.43)
где — средний молекулярный вес и R* — газовая постоянная.
Считая, что не меняется в фотосфере, из (4.42) и (4.43) находим
R*
d(T)
=-
g
dr
.
(4.44)
Воспользуемся также полученной выше связью между температурой T и оптической глубиной . Приближённая связь между этими величинами даётся формулой (4.20), из которой следует
dT
=-
3
4
T
4
e
dr
.
(4.45)
Здесь под , как уже сказано, может пониматься средний коэффициент поглощения.
Из двух последних уравнений можно найти и T в виде функций от r. Но для этого надо задать зависимость от и T. Мы положим = и будем сначала считать, что =const. Тогда из уравнений (4.44) и (4.45) получаем
d(T)
=
3
4
g
R*
dT
T
4
e
,
(4.46)
или, после интегрирования,
=
4
3
g
R*
T
–
T
4
0
T
4
e T
,
(4.47)
где T — поверхностная температура звезды.
В глубоких слоях фотосферы, где T>>T плотность оказывается связанной с температурой соотношением
=
4
3
g
R*
T^3
T
4
e
.
(4.48)
Подставляя (4.48) в (4.44), находим следующую формулу для градиента температуры:
dT
dr
=-
g
4R*
.
(4.49)
Уравнения (4.44) и (4.45) могут быть легко решены и при более общих предположениях относительно . Допустим, например, что
~
^2
Ts
,
(4.50)
где s — некоторый параметр (такая формула для , как увидим в § 5, действительно встречается). Тогда вместо (4.48) и (4.49) получаем
~
T
(s+3)/2
(4.51)
и
dT
dr
=-
2
s+5
g
R*
.
(4.52)
Применим полученные выше формулы к фотосфере Солнца. Полагая в формуле (4.49) g=2,7·10, =1, R*=8,3·10, находим: dT/dr=-10 кельвинов/см. Следовательно, при углублении в фотосферу Солнца на 1 км температура возрастает на 10 кельвинов.
Из полученных формул можно также найти величину |dr/d|. т.е. геометрическую толщину слоя единичной оптической толщины. Подставляя в формулу d=- dr выражение (4.48), находим
dr
d
=-
3
4
R*Te
gT^3
.
(4.53)
Если мы положим здесь T=Te то величина |dr/d|. будет характеризовать собой толщину фотосферы. В случае Солнца толщина фотосферы оказывается порядка 100 км. Так как радиус Солнца равен 700 000 км, то мы убеждаемся в том, что толщина фотосферы гораздо меньше радиуса. Этим результатом мы уже пользовались раньше, считая фотосферные слои плоскопараллельными.
5. Световое давление в фотосфере.
При рассмотрении механического равновесия фотосферы мы не приняли во внимание световое давление. Оценим теперь роль светового давления в фотосфере, найдя отношение светового давления к газовому. Для этого получим сначала общие формулы, определяющие силу светового давления. В дальнейшем эти формулы нам понадобятся для применения не только к фотосфере, но и к другим объектам.
Как известно, каждый фотон обладает количеством движения, равным h/c Если фотон поглощается атомом, то атом получает количество движения h/c в направлении движения фотона. Этим и вызывается давление излучения на атомы.
Возьмём элементарный объём с площадью основания d и толщиной dr. Допустим, что на объём падает излучение со всех сторон, и найдём силу светового давления, действующую на объём в направлении нормали к основанию. Рассмотрим сперва излучение, падающее на объём под углом к нормали внутри телесного угла d в интервале частот от до +d в течение промежутка времени dt. Если интенсивность излучения есть I, то количество энергии, падающее на объём, будет равно I d cos d d dt. Однако не вся эта энергия производит давление на объём, а только часть её, поглощаемая объёмом. Так как путь фотонов в объёме равен dr sec, то количество поглощаемой объёмом энергии равно I d dr d d dt. Чтобы найти количество движения, получаемое объёмом в направлении нормали к основанию, надо эту энергию умножить на cos/c. Следовательно, указанное количество движения будет равно