Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
exp
–
h
kT
d
.
(5.31)
Здесь для простоты мы положили gi=1 и g=1. Меняя порядок интегрирования и суммирования и производя интегрирование, находим
0
B
(T)
d
=
n
e
n
2^2ekT
33ch(2mkT)^3/^2
2h
c^2
x
x
kT
h
1
+
2,4
kT
.
(5.32)
Кроме
0
B
(T)
d
=
2h
c^2
kT
h
0
x^3dx
ex– 1
=
2h
c^2
kT
h
15
.
(5.33)
Подстановка (5.32) и (5.33) в формулу (5.27) даёт
=
40
3
eh
me(2m)^3/^2
1
+
2,4
kT
nen
(kT)/^2
.
(5.34)
Формулу (5.34) мы получили для атома водорода, но она справедлива без изменений и для водородоподобных ионов (так как атомный номер Z входит в ) Приближённо формула (5.34) справедлива и для других атомов.
Напомним, что первый член в квадратных скобках формулы (5.34) соответствует свободно-свободным переходам, а второй член — связанно-свободным переходам. В случае поглощения излучения водородными атомами первый член преобладает при температурах, больших 400 000 K, а второй член — при температурах, меньших 400 000 K (так как для водорода /k=157 200).
Считая, что водородные атомы полностью ионизованы (а значит, ne=n~), в двух указанных случаях из формулы (5.34) получаем
^2
T/^2
(5.35)
(при сравнительно высоких температурах) и
^2
T/^2
(5.36)
(при сравнительно низких температурах). Формулы (5.35) и (5.36) довольно часто применяются в астрофизике.
§ 6. Теория фотосфер при коэффициенте поглощения, зависящем от частоты
1. Приближённая теория.
Самый простой путь для построения приближенной теории фотосфер при коэффициенте поглощения, зависящем от частоты, состоит в использовании результатов изложенной выше теории фотосфер при предположении о независимости коэффициента поглощения от частоты. С этой целью в теорию фотосфер вводится средний коэффициент поглощения . Как было показано в предыдущем параграфе, его можно определить так, что сохраняется такая же зависимость температуры T от оптической глубины , как и в случае, когда коэффициент поглощения не зависит от частоты. Поэтому сохраняются и полученные ранее выводы о строении звёздной фотосферы, т.е. об изменении в ней плотности и температуры с геометрической глубиной (в соответствующих формулах § 4 надо
Однако для определения поля излучения в фотосфере для разных частот необходимо, чтобы в теории фигурировал коэффициент поглощения или соответствующая ему оптическая глубина . Для нас особенный интерес представляет интенсивность излучения, выходящего из звезды. Как было показано ранее, она определяется формулой (4.30), справедливой при любой зависимости от . Мы будем считать, что входящая в эту формулу температура T при помощи формулы (5.26) выражается через оптическую глубину , соответствующую среднему коэффициенту поглощения. Поэтому для вычисления по формуле (4.30) надо выразить и через . Мы приближённо примем, что / не меняется в фотосфере. Тогда получаем
=
r
dr
=
r
dr
=
.
(6.1)
На самом деле величина / зависит от глубины в фотосфере. Очевидно, что для вычисления интенсивности излучения, выходящего из звезды, для величины / надо брать её значение в поверхностных слоях фотосферы (точнее говоря, в тех слоях, в которых в среднем возникает непрерывный спектр).
Подставляя (6.1) в (4.30), для интенсивности излучения, выходящего из звезды под углом к радиусу-вектору в частоте , получаем
I
(0,)
=
0
B
(T)
exp
–
sec
sec
d
,
(6.2)
где B(T) — планковская интенсивность при температуре T. Принимая во внимание (4.2) и (5.26), вместо (6.2) находим
I
(0,)
=
2h^3
c^2
0
exp
–
sec
x
x
exp
h
kTe
1
2
+
3
4
– 1/4
– 1
^1
sec
d
.
(6.3)
В том же приближении (т.е. при /=const) для потока излучения в частоте на поверхности звезды имеем
H
=
4h^3
c^2
0
E
d
exp
h
kTe
1
2 +
3
4
– 1/4
– 1
(6.4)
Ранее полученные формулы (4.39) и (4.40) являются частными случаями формул (6.3) и (6.4) (при =).
Иногда при вычислении величины I(0,) по формуле (6.2) функцию B(T) представляют в виде ряда, расположенного по степеням :