Курс теоретической астрофизики

Соболев Виктор Викторович

Подставляя (5.6) и (5.7) в формулу (5.2), находим

'

=

n

_e

n

2^2e

33ch

(2mkT)^3^/^2

·

1

^3

i=i

g_i

i^3

exp

_i

kT

,

(5.8)

где

величина как и раньше, есть энергия ионизации из первого состояния, равная

=

2^2me

h^2

.

(5.9)

В формуле (5.8) для частот за границей серии Лаймана i=1, для частот от границы серии Бальмера до границы серии Лаймана i=2 и т.д.

Для коэффициента поглощения '', обусловленного свободно-свободными переходами электрона в поле протона, квантовая механика даёт

''

=

n

_e

n

2^2ekT

33ch(2mkT)^3^/^2

1

^3

g

,

(5.10)

где n_e и n — число свободных электронов и число протонов в 1 см^3 соответственно, g — поправочный множитель Гаунта порядка единицы. При получении формулы (5.10) принято, что распределение свободных электронов по скоростям даётся формулой Максвелла с температурой T. Коэффициент поглощения '' так же как k_i, обратно пропорционален кубу частоты. Однако формула (5.10), в отличие от формулы (5.6), справедлива для всех частот.

Однако формулы (5.8) и (5.10) не вполне точны, так как в них не учтено так называемое отрицательное поглощение. Подробно об отрицательном поглощении речь будет идти в § 8. Пока же заметим, что при термодинамическом равновесии (точнее говоря, при выполнении формул Максвелла, Больцмана и Саха) для учёта отрицательного поглощения приведённое выше выражение для коэффициента поглощения следует умножить на величину 1-e^{– h/(kT)}

Подставляя (5.8) и (5.10) в формулу (5.3) и учитывая отрицательное поглощение, получаем следующее выражение для объёмного коэффициента поглощения, обусловленного водородными атомами:

=

n

_e

n

2^2ekT

33ch(2mkT)^3^/^2

x

x

2

kT

i=i

g_i

i^3

exp

_i

kT

+

g

1

^3

·

1

–

exp

–

h

kT

.

(5.11)

Зависимость коэффициента поглощения от частоты, даваемая формулой (5.11), схематически представлена на рис. 5. Мы видим, что эта зависимость является весьма сложной. Бросаются в глаза скачки коэффициента поглощения у пределов серий.

Рис. 5

Аналогичный

характер носит зависимость коэффициента поглощения от частоты для водородоподобных ионов (He, Li, и т.д.). В этом случае коэффициенты поглощения определяются приведёнными выше формулами с небольшими видоизменениями. Для иона с атомным номером Z в правую часть формулы (5.6) надо ввести множитель Z, а в правые части формул (5.10) и (5.11) — множитель Z^2. При этом в формуле (5.11) под следует понимать энергию ионизации из основного состояния рассматриваемого иона.

Приведённые формулы можно использовать и для приближённого вычисления коэффициентов поглощения неводородоподобных атомов. Это можно делать в тех случаях, когда поглощение связано с переходами электронов с высоких энергетических уровней. Вообще же коэффициенты поглощения разных атомов должны определяться специальными расчётами или экспериментально. Оказывается, что зависимость коэффициента поглощения от частоты для разных атомов весьма различна. Например, коэффициент поглощения из основного состояния нейтрального гелия обратно пропорционален квадрату частоты, коэффициент поглощения из основного состояния нейтрального кислорода с увеличением частоты сначала растёт, а затем убывает, и т.д.

Из всех неводородоподобных атомов наибольшую роль в фотосферах играет отрицательный ион водорода. Поэтому вопрос о поглощении отрицательными ионами водорода мы должны рассмотреть более подробно.

3. Поглощение отрицательными ионами водорода.

Отрицательный ион водорода (обозначаемый через H) представляет собой систему, состоящую из нейтрального атома водорода с присоединившимся к нему электроном. Такая система имеет только одно устойчивое состояние с очень небольшой энергией ионизации, равной =0,75 эВ. Для сравнения укажем, что энергия ионизации из основного состояния водорода равна 13,6 эВ, а энергия квантов в видимой части спектра равна 2—3 эВ. Следовательно, частота ионизации отрицательного иона водорода =/h находится в далёкой инфракрасной части спектра. При фотоионизации отрицательного иона водорода могут поглощаться все кванты с частотами >= в частности, кванты в видимой области спектра.

Определение коэффициента поглощения иона H было предметом многих исследований. На рис. 6 приведён коэффициент поглощения k рассчитанный на один отрицательный ион водорода, в зависимости от частоты. Эта зависимость была получена в работе Чандрасекара [4] (последующие исследования её мало изменили). Из рис. 6 следует, что в видимой части спектра коэффициент поглощения иона H меняется плавно и в сравнительно небольших пределах.

Рис. 6

Объёмный коэффициент поглощения, обусловленный отрицательным ионом водорода, равен '=nk, где n — число ионов H в 1 см^3. Чтобы получить полный объёмный коэффициент поглощения иона H, надо к этому выражению добавить ещё объёмный коэффициент поглощения '' обусловленный свободно-свободными переходами электрона в поле нейтрального атома водорода (который играет роль ионизованного атома для иона H). Очевидно, что коэффициент поглощения '' пропорционален числу нейтральных атомов водорода и числу свободных электронов в 1 см^3. Поэтому мы можем представить его в виде ''=np_ea где p_e=n_ekT — электронное давление.