Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
Как и раньше, мы сейчас допустим, что коэффициент поглощения не зависит от частоты. В этом случае зависимость температуры от оптической глубины получается в явном виде и расчёт поля излучения в фотосфере для разных частот выполняется совсем легко.
Если коэффициент поглощения не зависит от частоты, то формула (4.12) принимает вид
=
2h^3
c^2
1
exp(h/(kT))-1
.
(4.13)
Интегрируя (4.13) по всем частотам, получаем
=
ac
4
T
,
(4.14)
где
S
=
ac
4
T
.
(4.15)
Этой формулой и даётся связь температуры с оптической глубиной.
Если величина S найдена в приближении Эддингтона, то она определяется формулой (2.33). В этом случае получаем
ac
4
T
=
nF
1
2
+
3
4
.
(4.16)
Взяв для S точное выражение, даваемое формулой (2.50), находим
ac
4
T
=
nF
3
4
+
q
.
(4.17)
Входящая в формулы (4.16) и (4.17) величина nF есть полный поток излучения в фотосфере. Его удобно представить как полный поток излучения абсолютно чёрного тела некоторой температуры Te т.е., основываясь на формуле (4.10), положить
nF
=
T
4
e
,
(4.18)
где =ac/4. Температура Te называется эффективной температурой звезды. Со светимостью звезды L и её радиусом R она связана соотношением
L
=
4
R^2
T
4
e
.
(4.19)
Подстановка (4.18) в формулы (4.16) и (4.17) даёт
T
=
T
4
e
1
2
+
3
4
,
(4.20)
T
=
T
4
e
+
q
.
(4.21)
Полагая в полученных формулах =0, мы можем определить поверхностную температуру T. В приближении Эддингтона находим
T
=
2^1
/
T
e
=
0,841
T
e
.
(4.22)
Точная связь между T и Te такова:
T
=
3
4
^1/
T
e
=
0,811
T
e
.
(4.23)
Положив
3. Излучение, выходящее из фотосферы.
Чтобы определить поле излучения в фотосфере для разных частот, мы должны воспользоваться уравнением переноса излучения
cos
dI
dr
=-
I
+
.
(4.24)
Полагая здесь
=
S
(4.25)
и вводя оптическую глубину в фотосфере в частоте
=
r
dr
,
(4.26)
вместо (4.24) получаем
cos
dI(,)
d
=
I
(
,)
–
S
(
)
.
(4.27)
Интегрируя уравнение (4.27), можно найти интенсивность излучения на разных оптических глубинах. Для нас наибольший интерес представляет интенсивность излучения, выходящего из звезды, т.е. величина I(0,). Эта величина равна
I
(0,)
=
0
S
(
)
e
– sec
sec
d
.
(4.28)
Формула (4.28) есть простое следствие уравнения переноса излучения. Воспользуемся теперь предположением о локальном термодинамическом равновесии. Сравнивая между собой формулы (4.25) и (4.1), мы видим, что при этом предположении
S
(
)
=
B
(T)
,
(4.29)
где B(T) — интенсивность излучения абсолютно чёрного тела, даваемая формулой (4.2). Поэтому в случае локального термодинамического равновесия вместо (4.28) получаем