Курс теоретической астрофизики

Соболев Виктор Викторович

Применение изложенного метода должно начинаться с составления уравнения для определения функции S(0,x). Для упрощения записи обозначим x=1/, S(0,x)=. Тогда уравнение (3.20) для данного случая принимает вид

=

1

+

2

1

0

(')

+'

d'

.

(3.53)

Уравнение (3.53) было впервые получено В. А. Амбарцумяном другим способом. Путём численного решения этого уравнения были составлены подробные таблицы

функции . Эта функция монотонно возрастает от значения (0)=1 до значения (1)=2.9. Получено также выражение в явном виде * ).

* ) Подробнее об уравнениях типа (3.53) см. гл. IV.

Если функция известна, то может быть найдена и функция . Для её определения мы имеем уравнение

0

e

^{– s}

d

=

1

–

1

2

1

0

d

1+s

^1

–

1,

(3.54)

вытекающее из (3.25). Обращение преобразования Лапласа даёт

=

3

+

2

1

0

e^{– /}d

^2 +

2 + ln

1-

1+

^2

.

(3.55)

Знание функции позволяет получить как решение однородного уравнения (3.51), так и решение соответствующего ему неоднородного уравнения. Однако нас сейчас интересует только решение уравнения (3.51). Это решение определяется формулой (3.31).

Из уравнения (3.35) следует, что в данном случае k=0. Поэтому имеем

S

=

S(0)

1

+

0

(')

d'

.

(3.56)

Формулой (3.56) и даётся искомое точное решение интегрального уравнения Милна.

Мы можем также получить точный закон распределения яркости по диску звезды. Яркость на угловом расстоянии от центра диска даётся формулой (2.54). Полагая в ней cos =, приходим к формуле (3.36). Выше было показано, что интенсивность излучения I(0,) при источниках на бесконечности определяется формулой (3.50). Но в данном случае k=0 и S(0,1/)=. Поэтому яркость на угловом расстоянии arccos от центра диска будет равна

I(0,)

=

S(0)

.

(3.57)

Для отношения яркости в центре диска к яркости на краю находим значение (1)/(0)=2,9, уже упоминавшееся в предыдущем параграфе.

Входящую в формулы (3.56) и (3.57) величину S(0) можно выразить через поток излучения в фотосфере nF. Мы имеем

F

=

2

1

0

I(0,)

d

=

2S(0)

,

(3.58)

где использовано обозначение

_n

1

0

ⁿ

d

.

(3.59)

Величины _n,

представляющие собой моменты функции , могут быть найдены из уравнения (3.53). Интегрируя это уравнение по в пределах от 0 до 1, получаем

=

1

+

1

2

1

0

1

0

(')

+'

d

d'

=

=

1

+

1

2

2

0

–

1

2

1

0

1

0

(')

+'

d

d'

=

=

2

+

1

2

2

0

–

,

(3.60)

откуда следует, что

=

2.

(3.61)

Умножая (3.53) на ^2d и интегрируя в пределах от 0 до 1, аналогично находим

=

2

3

.

(3.62)

Подстановка (3.62) в (3.58) даёт

F

=

4

3

S(0)

.

(3.63)

Эта формула, выражающая точную зависимость между величинами F и S(0), уже приводилась в предыдущем параграфе.

Подставляя (3.63) в (3.56), находим

S

=

3

4

F

1

+

0

(')

d'

.

(3.64)

Сравнение (3.64) с (2.51) даёт

q

=

1

3

1

+

0

(')

d'

–

.

(3.65)

Если мы подставим в (3.65) выражение (3.55), то придём к формуле, позволяющей вычислить функцию q по известным значениям функции .

§ 4. Локальное термодинамическое равновесие

1. Поле излучения при термодинамическом равновесии.

Как увидим дальше, в теории фотосфер широко используются формулы, описывающие состояние термодинамического равновесия. Поэтому мы должны привести некоторые из этих формул. Особый интерес представляет для нас вопрос о поле излучения при термодинамическом равновесии.

Как известно, термодинамическое равновесие осуществляется в полости, стенки которой нагреты до некоторой постоянной температуры T. Состояние термодинамического равновесия характеризуется тем, что каждый процесс уравновешивается противоположным ему процессом (в этом состоит «принцип детального равновесия»).