Курс теоретической астрофизики

Соболев Виктор Викторович

Найдём зависимость температуры от оптической глубины в данном случае. Для этого мы должны воспользоваться уравнением переноса излучения в форме (1.20). Проинтегрировав это уравнение по всем частотам, получаем

cos

I

r

–

sin

r

I

r

=-

I

+

,

(7.1)

где — средний коэффициент поглощения. Обозначая, как обычно, =S, в качестве условия лучистого равновесия имеем

S

=

I

d

4

.

(7.2)

Интегрирование (7.1)

по всем направлениям при учёте (7.2) приводит к формуле

H

=

C

r^2

,

(7.3)

где C — некоторая постоянная. (Очевидно, что 4C есть светимость звезды.)

Умножая (7.1) на cos и интегрируя по всем направлениям, в приближении Эддингтона находим

4

3

dS

dr

=-

H

,

(7.4)

или, на основании (4.15),

ac

3

dT

dr

=-

H

.

(7.5)

Для коэффициента поглощения возьмём выражение

~

^2

T^s

(7.6)

[сравните с формулами (5.35) и (5.36)] и допустим, что плотность в фотосфере обратно пропорциональна некоторой степени расстояния от центра звезды, т.е.

~

1

rⁿ

.

(7.7)

Подставляя (7.3), (7.6) и (7.7) в уравнение (7.5) и интегрируя его, получаем

T

=

T

r

r

2n+1

4+s

,

(7.8)

где T — температура на расстоянии r.

Пользуясь формулами (7.7) и (7.8), можно также легко получить зависимость оптической глубины от расстояния r. Подстановка указанных формул в соотношение d=- dr и интегрирование даёт

=

r

r

2

4n-s-2

4+s

(7.9)

где под r теперь понимается расстояние от центра звезды при =1. Из (7.8) и (7.9) получаем искомую зависимость T от :

T

=

T

2n+1

2(4n-s-2)

.

(7.10)

Возьмём, например, n=2 и s=4. Тогда имеем

T

=

T

^5/4

.

(7.11)

Таким образом, в протяжённой фотосфере температура возрастает с оптической глубиной гораздо быстрее, чем в фотосфере, состоящей из плоскопараллельных слоёв.

Знание зависимости T от =1 даёт возможность вычислить распределение энергии в непрерывном спектре

звезды. Для этого надо воспользоваться уравнением переноса излучения (1.20), положив в нём, на основании гипотезы о локальном термодинамическом равновесии, =B(T). Первоначально в теории протяжённых фотосфер принималось, что коэффициент поглощения не зависит от частоты. В таком случае кривая распределения энергии в непрерывном спектре звезды получалась очень сильно отличающейся от планковской кривой — с большим избытком излучения в ультрафиолетовой части спектра. Однако при учёте зависимости коэффициента поглощения от частоты указанного избытка излучения не получается вследствие сильного поглощения за границами основных серий атомов. Следует также иметь в виду, что в протяжённых фотосферах возможны очень большие отклонения от локального термодинамического равновесия.

2. Покровный эффект.

Излучение звезды в непрерывном спектре, проходя через поверхностные слои звезды, испытывает частичное поглощение в спектральных линиях. Энергия, поглощённая в линиях, возвращается обратно в фотосферу. Вследствие этого увеличивается плотность излучения в фотосфере, а значит, и её температура. Это явление называется покровным эффектом.

Обозначим через A долю энергии, поглощённой в спектральных линиях. Эта величина может быть найдена из наблюдений. Например, для Солнца она приблизительно равна 10%.

Поглощение энергии в линиях происходит в поверхностном слое с оптической толщиной в непрерывном спектре порядка нескольких десятых. Однако для простоты мы сейчас примем, что энергия поглощается в линиях на границе звезды (при =0). Тогда при предположении о независимости коэффициента поглощения в непрерывном спектре от частоты (или при использовании среднего коэффициента поглощения) учёт покровного эффекта может быть произведён точно.

При составлении уравнения лучистого равновесия для данной задачи надо иметь в виду, что на каждый элементарный объём в фотосфере падает как диффузное излучение, идущее со всех сторон, так и излучение, отражённое от границы и ослабленное по пути. Интенсивность диффузного излучения мы обозначим через I(,), а интенсивность излучения, отражённого от границы,— через I_*. Тогда в качестве условия лучистого равновесия получаем

S

=

1

2

+1

– 1

I(,)

d

+

1

2

I

_*

1

0

e

^{– /}

d

.

(7.12)

Подставляя в (7.12) выражение I(,) через S, найденное из уравнения переноса излучения (т.е. поступая так же, как при получении уравнения Милна), находим

S

=

1

2

0

E|-'|

S(')

d'

+

1

2

I

_*

E

.

(7.13)

Для определения величины I_* мы должны воспользоваться соотношением

I

_*

=

2A

1

0

I(0,)

d

,

(7.14)

выражающим собой тот факт, что из количества энергии, падающей на границу, отражается обратно доля A. Очевидно, что в данном случае поток излучения должен быть таким же, как и при отсутствии покровного эффекта (т.е. равным F). Поэтому имеем