Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
dn
~
exp
–
Mvx^2
2kT
dv
x
,
(8.14)
где M — масса атома. Очевидно, что вероятность поглощения фотонов с частотами от до +d пропорциональна числу атомов со скоростями от vx до vx+dvx. Поэтому для коэффициента поглощения имеем
k
=
k
exp
–
M
2kT
–
c
^2
,
(8.15)
где k —
Величину k мы пока не знаем, однако во всех случаях, когда коэффициент поглощения в линии известен с точностью до постоянного множителя, этот множитель можно найти с помощью соотношения (8.12). Подставляя (8.15) в (8.12), получаем
k
=
c^3
8^3/^2^3v
gk
gi
A
ki
.
(8.16)
Формулу (8.15) можно переписать в виде
k
=
k
exp
–
–
D
^2
,
(8.17)
где D=v/c и v — средняя тепловая скорость атома, равная v=2kT/M. Величина 2D называется доплеровской шириной спектральной линии. Выраженная в длинах волн доплеровская ширина оказывается порядка 0,1 A (при средней скорости атома порядка 1 км/с). Следовательно, доплеровская ширина гораздо больше естественной ширины.
Легко получить, что при совместном действии затухания излучения и эффекта Доплера коэффициент поглощения равен
k
=
k
a
+
–
e– y^2dy
(u+y)^2+a^2
,
(8.18)
где
u
=
–
D
,
a
=
E
D
(8.19)
и k даётся формулой (8.16).
Вводя обозначение k/k=H(u,a), мы имеем
H(u,a)
=
a
+
–
e– y^2dy
(u+y)^2+a^2
.
(8.20)
Функция H(u,a) играет очень большую роль в теории линейчатых спектров звёзд и поэтому подробно изучалась и табулировалась.
Вследствие того, что величина a обычно очень мала, удобно разложить функцию H(u,a) в ряд по степеням a, т.е. представить в виде
H(u,a)
=
H(u)
+
aH(u)
+
a^2H(u)
+ …
(8.21)
Оказывается,
H(u)
=
e
– u^2
,
(8.22)
H(u)
=-
2
1
–
2u
e
– u^2
u
0
e
t^2
dt
(8.23)
и т.д. В табл. 6 приведены значения функций H(u), H(u) и H(u) для некоторых значений u. Подробные таблицы функций Hi(u) даны Гаррисом [2].
Таблица 6
Значения функций H(u), H(u) и H(u)
u
H(u)
H(u)
H(u)
0
1,0000
– 1,1284
+1,0000
0,2
0,9608
– 1,0405
+0,8839
0,4
0,2521
– 0,8035
+0,5795
0,6
0,6977
– 0,4855
+0,1953
0,8
0,5273
– 0,1672
– 0,1476
1,0
0,3679
+0,0859
– 0,3679
1,2
0,2369
+0,2454
– 0,4454
1,4
0,1409
+0,3139
– 0,4113
1,6
0,0773
+0,3157
– 0,3185
1,8
0,0392
+0,2803
– 0,2146
2,0
0,0183
+0,2317
– 0,1282
2,2
0,0079
+0,1849
– 0,0686
2,4
0,0032
+0,1461
– 0,0332
2,6
0,0012
+0,1165
– 0,0245
2,8
0,0004
+0,0947
– 0,0058
3,0
0,0001
+0,0786
– 0,0021
Приближённо при a<<1 в центральных частях линии коэффициент поглощения равен
k
=
k
e
– u^2
.
(8.24)
Для далёких же от центра частей линии из формулы (8.18) находим
k
=
k
a
1
u^2
(8.25)
Переходная область между областями применения формул (8.24) и (8.25) находится из того условия, что в ней значения k, даваемые этими формулами, одного порядка.
Легко видеть, что формула (8.24) совпадает с (8.17), а формула (8.25) — с (8.13) (если пренебречь в последней ik/4 по сравнению с |-|). Следовательно, вблизи центра линии коэффициент поглощения определяется эффектом Доплера, а вдали от него — затуханием излучения.