Курс теоретической астрофизики

Соболев Виктор Викторович

g_k

g_i

exp

–

h_ik

kT

,

(8.3)

где g_i и g_k — статистические веса состояний. Из (8.2) при помощи (8.3) получаем

_ik

=

A_ki

B_ki

x

g_i

g_k

B_ik

B_ki

exp

h_ik

kT

–

1

^1

.

(8.4)

Сравнивая (8.4)

с формулой Планка (4.4), также имеющей место при термодинамическом равновесии, находим

A

_ki

=

8h_ik^3

c^3

B

_ki

,

B

_ki

=

g_i

g_k

B

_ik

.

(8.5)

Таким образом, если известен один из коэффициентов Эйнштейна, то два других определяются при помощи соотношений (8.5). Заметим, что хотя эти соотношения и были получены при рассмотрении термодинамического равновесия, они справедливы всегда, так как эйнштейновские коэффициенты переходов характеризуют свойства атома и фотона и не зависят от того, как распределены атомы по состояниям и фотоны по частотам.

Следует подчеркнуть большое различие между спонтанным и вынужденным излучением. При спонтанных переходах фотоны испускаются во все стороны. При вынужденных переходах фотоны испускаются в том же направлении, в каком летят вызвавшие эти переходы фотоны. Поэтому интенсивность падающего на атомы пучка излучения убывает вследствие поглощения, но возрастает вследствие вынужденных переходов. Этим объясняется, почему вынужденное излучение называют также отрицательным поглощением.

Из сказанного следует, что полное количество фотонов, поглощаемых в рассматриваемой линии в 1 см^3 за 1 с, равно

n

_i

B

_ik

_ik

–

n

_k

B

_ki

_ik

=

n

_i

B

_ik

_ik

1

–

n_kB_ki

n_iB_ik

.

На основании второго из соотношений (8.5) это выражение можно переписать в виде

n

_i

B

_ik

_ik

1

–

g_in_k

g_kn_i

.

Таким образом, для учёта отрицательного поглощения надо количество фотонов, претерпевших обычное поглощение, умножить на величину

1

–

g_in_k

g_kn_i

.

Если распределение атомов по уровням даётся формулой Больцмана (в частности, при термодинамическом равновесии), то вместо

последнего выражения имеем

n

_i

B

_ik

_ik

1

–

exp

–

h_ik

kT

.

Следовательно, в данном случае множитель, учитывающий отрицательное поглощение, равен

1

–

exp

–

h_ik

kT

.

Этим результатом мы уже пользовались ранее при рассмотрении поглощения в непрерывном спектре (§ 5).

Знание эйнштейновских коэффициентов спонтанных переходов даёт возможность определить среднюю продолжительность жизни атома в возбуждённых состояниях. Пусть n_k(0) — число атомов в k-м состоянии в момент времени t=0. Убывание вследствие спонтанных переходов на все лежащие ниже уровни происходит по закону

dn

_k

=-

n

_k

k-1

i=1

A

_ki

dt

,

(8.6)

или после интегрирования,

n

_k

(t)

=

n

_k

(0)

e

^{– _kt}

,

(8.7)

где обозначено

_k

=

k-1

i=1

A

_ki

.

(8.8)

Отсюда для средней продолжительности жизни атома в k-м состоянии получаем

t

_k

=

0

t

e

^{– _kt}

_k

dt

=

1

_k

.

(8.9)

Величины A_ki для разрешённых переходов — порядка 10 с^1. Поэтому средняя продолжительность жизни атома в возбуждённом состоянии оказывается порядка 10 с. Исключение составляют метастабильные состояния, из которых все переходы на нижележащие уровни запрещены. Для запрещённых переходов величины A_ki гораздо меньше, чем для разрешённых переходов. Поэтому средняя продолжительность жизни атома в метастабильном состоянии очень велика (иногда доходит до нескольких часов).

Для вычисления эйнштейновских коэффициентов переходов необходимо знать волновые функции атома. Так как определение волновых функций представляет весьма сложную задачу, то эйнштейновские коэффициенты переходов вычислены лишь для простейших случаев.

В таблице 5 даны значения величин A_ki для атома водорода. Здесь под индексами i и k понимаются главные квантовые числа, а величины A_ki имеют следующий смысл. Если n_k есть количество атомов во всех состояниях с главным квантовым числом k, то общее число переходов в состояния с главным квантовым числом i, происходящих за 1 с, равно n_kA_ki. При этом предполагается, что распределение атомов по состояниям с разными азимутальными квантовыми числами пропорционально статистическим весам этих состояний.