Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

Гомес Жуан

Теперь рассмотрим этот случай более подробно. Пусть А, В и С — углы одного треугольника. Их сумма меньше двух прямых углов (180°), и поэтому разность 180 — (А + В + С) будет положительна. Эта разность называется угловым дефектом, и мы имеем следующий результат: площадь любого треугольника пропорциональна его угловому дефекту.

Если мы обозначим через k коэффициент пропорциональности, то формула для площади треугольника (S) будет выглядеть следующим образом:

так

что максимальное значение площади треугольника равно  · k² (в гиперболической геометрии не бывает треугольников с бесконечной площадью). Мы не приводим доказательство этого результата, так как оно достаточно сложное. Мы лишь записали окончательную формулу, какой бы странной она ни казалась.

Выражение для площади треугольника подтверждает то, о чем мы говорили раньше. На самом деле в евклидовом случае два треугольника с одинаковыми углами не обязательно имеют одинаковую площадь и, следовательно, не обязательно равны. Однако в гиперболическом мире одинаковые углы (и, следовательно, одинаковый угловой дефект) означают одинаковый размер.

Также в гиперболической геометрии чем больше треугольник, тем больше его площадь и тем меньше сумма его углов. Для очень малых площадей (для бесконечно малых, в терминах математики) сумма углов треугольника стремится к 180°. Таким образом, можно сказать, что геометрия Евклида является предельным случаем гиперболической геометрии.

Иоганн Генрих Ламберт, о котором мы уже упоминали в третьей главе, еще в середине XVIII в. заметил, что, отказавшись от пятого постулата Евклида, он получил следующий результат: сумма углов треугольника увеличилась, приближаясь к 180° по мере уменьшения площади треугольника.

Круги

В школьной геометрии изучаются не только треугольники. В школьную программу входят и другие геометрические фигуры, например, круги, поэтому каждый знает, что такое радиус круга. В геометрии Евклида длина окружности С пропорциональна радиусу r. Это соотношение включает в себя знаменитое число :

С = 2··r.

Однако, в гиперболической геометрии длина окружности рассчитывается по следующей формуле:

В этом выражении k является коэффициентом пропорциональности, a sh — так называемым гиперболическим синусом. Число е нам уже знакомо, с точностью до нескольких десятичных знаков оно записывается как 2,718281828 …Также напомним, что

Теперь возьмем предыдущее выражение

и разложим его в ряд:

Таким образом получим новое выражение для длины окружности в виде бесконечной суммы слагаемых.

Если мы посмотрим на вторую часть выражения

то заметим, что при очень малых r множитель

будет

стремиться к 1, и поэтому формула сведется к известному выражению евклидовой геометрии:

С = 2··r.

Это можно доказать с помощью простых вычислений. Для простоты мы будем измерять расстояния в километрах. Возьмем выражение для длины окружности в виде степенного ряда. Пусть коэффициент k имеет значение k = 10¹⁷, и мы хотим посчитать длину окружности радиуса 100 км.

Подставим эти значения в выражение

а также в евклидову формулу 2·r, и мы увидим, что разница составляет лишь 10^{– 9}.

Если два значения длины окружности посчитать для радиуса в 1 км, разница будет порядка 10^{– 12}. Продолжим вычисления с меньшими значениями по мере того, как круг сжимается. Для радиуса в один метр разница составит примерно 10^{– 15}. Таким образом, мы показали, что при небольших размерах длина окружности в гиперболической геометрии приближается к длине окружности в геометрии Евклида. Такие же рассуждения можно применить и к формулам для площади треугольника.

* * *

РЯДЫ ТЕЙЛОРА

При определенных условиях можно записать следующее разложение в ряд:

Это выражение для е⁴ называется рядом Тейлора, в честь английского математика Брука Тейлора (1685–1713). Если у вас есть простейший калькулятор с четырьмя основными операциями (сложение, вычитание, умножение и деление), эта формула позволяет посчитать е в любой степени, просто подставив его значение вместо А, чем больше членов ряда будет посчитано, тем выше точность результата. Выражение n! означает произведение n·(n — 1)·(n — 2)·…·1 и читается как «n факториал». Например: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.

Если выражение для ряда Тейлора применить к формуле длины гиперболической окружности

то мы получим:

где последний член очень мал и содержит r в 11-й степени. Если в этом выражении вынести общий множитель С = 2··r за скобки, то мы получим следующую формулу:

* * *

Отношение n/k указывает на различие в свойствах фигур в гиперболической и евклидовой геометриях, где п означает размер фигуры (радиус окружности, длина стороны треугольника). Однако в астрономических масштабах отношение n/k нельзя не учитывать.