Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии
Шрифт:
* * *
Что касается тангенсов, то можно показать, что
аналогично традиционному выражению
* * *
ЕВКЛИДОВА ТРИГОНОМЕТРИЯ
Тригонометрические тождества для суммы
sin(x + у) = sinx·cosy + cosx·siny
cos(x + у) = cosx·cosy — sinx·siny
sin(x — y) = sinx·cosy — cosx·siny
cos(x — y) = cosx·cosy + sinx·siny
* * *
РЕШЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ЕГО УГЛАМ
Пусть в гиперболическом треугольнике даны внутренние углы А = 8°, В = 22° и С = 40°. Надо найти угловой дефект и длины сторон треугольника.
Угловой дефект считается по формуле 180° — (8° + 22° + 40°) = 110°. Для вычисления длин сторон мы воспользуемся гиперболической теоремой косинусов и получим
Это позволяет нам вычислить значение а. Для этого воспользуемся калькулятором и посчитаем функцию, обратную гиперболическому косинусу. Получим значение 2,642857562. Далее
что дает нам длину b = 3,628644458. И наконец
К счастью, современные калькуляторы имеют эти функции, и расчеты можно делать без утомительных промежуточных вычислений.
* * *
Аналогично можно проверить другие соотношения с помощью определений гиперболических синуса и косинуса.
По таблице традиционных тригонометрических тождеств можно составить аналогичные соотношения гиперболической геометрии. Просто надо от функций sinх и cosх перейти к гиперболическим функциям shх и chх соответственно, внося необходимые поправки, поскольку, как мы видели, разница состоит не только в обозначениях. Необходимо, например, изменить знак каждого члена, содержащего произведение двух гиперболических синусов.
Это простое правило позволяет получить соотношения для гиперболической тригонометрии из их евклидовых аналогов:
sh(x + у) = shx·chy + chx·shy
sh(x — у) = shx·chy — chx·shy
ch(x + y) = chx·chy + shx·shy
ch(x — y) = chx·chy — shx·shy
Как мы видели, гиперболическая тригонометрия похожа на традиционную,
Рассмотрим треугольник с углами А, В и С и сторонами а, b и с, как показано на рисунке:
Для него справедливы следующие соотношения:
1) гиперболическая теорема косинусов для углов:
cosА = —cosВ·cosС + sinВ·sinС·chа;
2) гиперболическая теорема косинусов для сторон:
chа = chb·chс — shb·shс·cosА;
3) cosА = chа·sinВ;
4) /2 = .
Приведенные выше выражения также справедливы, если мы заменим а, Ь, с и А, В, С на Ь, с, а и В, С, А соответственно в результате так называемой круговой перестановки. Таким образом мы можем составить полную таблицу соотношений между традиционной и гиперболической тригонометриями.
Глава 6
Эллиптическая геометрия
Имя немецкого математика Бернхарда Римана вписано большими буквами в историю математики. Эллиптическая геометрия — это удивительное детище его математического гения. Именно он представил прямые линии на таких поверхностях, как шар или мяч для регби, в виде окружностей.
Поверхность эллипсоида наиболее часто используется для визуализации и интерпретации эллиптической геометрии, отсюда и термин «эллиптическая геометрия».
Чтобы наиболее ясно продемонстрировать свойства этой геометрии, мы рассмотрим поверхность сферы, которая представляет собой самый простой, частный случай эллипсоида.
С помощью эллипсоида можно представить эту геометрию в очень интересной форме. Рассмотрим сначала более подробно поверхность эллипсоида.
* * *
ЭЛЛИПС
Эллипсом называется такая кривая, сумма расстояний от любой точки которой до двух фиксированных точек (так называемых фокусов) является постоянной
Круг является частным случаем эллипса, когда оба фокуса находятся в одной точке.
* * *
Эллипсоид получается путем вращения эллипса вокруг одной из его осей симметрии. Эллипсоид напоминает апельсин или лимон, а также планету Земля. Земля на самом деле является не сферой, а эллипсоидом, так как она приплюснута на полюсах. Однако для простоты мы будем считать земной шар идеальной сферой.