Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии
Шрифт:
Для большей ясности это утверждение может быть выражено в словесной форме. И хотя оно совсем не напоминает оригинальную теорему Пифагора, мы сформулируем его в любом случае:
«В любом прямоугольном треугольнике на поверхности сферы радиуса R косинус отношения гипотенузы с к радиусу R равен произведению косинусов отношений других сторон к радиусу».
В следующей таблице сравниваются
ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
• Прямая линия является кратчайшей линией между двумя точками.
• Прямые линии бесконечны. Расстояние между двумя точками не ограничено.
• Существует только одна прямая линия, соединяющая две точки.
• Существуют прямые без общих точек, и они называются параллельными линиями.
• Две перпендикулярные прямые образуют четыре прямых угла.
• Треугольник имеет не более одного прямого угла.
СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
• Геодезическая линия является кратчайшей линией между двумя точками.
• Геодезические линии имеют максимальную конечную длину, равную R. Максимальное расстояние между двумя точками равно R.
• Геодезическая линия будет единственной тогда и только тогда, когда две точки не являются диаметрально противоположными. В противном случае существует бесконечное число геодезических линий.
• Прямыми линиями являются большие круги, и они всегда пересекаются. Не существует параллельных линий в евклидовом смысле.
• Две перпендикулярные геодезические линии образуют 8 прямых углов.
• У сферического треугольника может быть 0, 1, 2 или даже 3 прямых угла.
Глава 7
Геометрия Земли
Рассмотрим две классические задачи, связанные с геометрией Земли. Они были сформулированы известным математиком и педагогом Дьёрдем Пойа (1887–1985). Первая — рассказ-шутка, но с математическим содержанием. Она известна как задача о полярном медведе.
«Смелый охотник, выйдя из лагеря, прошел 1 км на юг. Затем он прошел 1 км на восток. И в этот момент он увидел медведя, достал пистолет и выстрелил. Довольный своей добычей, охотник пошел на север и ровно через 1 км возвратился в лагерь. Какого цвета был медведь?»
Охотник двигался по дугам меридианов, когда шел на юг и на север. Идя на восток, он двигался по дуге параллели.
Если охотник возвращается в исходную точку по другому меридиану, а не по тому, по которому вышел из лагеря, то его лагерь должен быть на Северном полюсе. Другое решение предполагает, что двигаясь на восток по параллели, охотник опишет одну, две или три полных окружности вокруг полюса. В любом случае медведь, находящийся в одном километре от Северного полюса, может быть только белым.
Другая задача Пойа не так хорошо известна, но не менее занимательна. Это задача о земле Роберта.
«Роберт хочет купить участок земли, совершенно плоский и ограниченный четырьмя строго прямыми линиями. Две из этих линий должны проходить с севера на юг, а две другие — с востока на запад. Длина каждой должна быть ровно 1000 метров. Может ли Роберт найти такой участок земли в Мексике?»
Рассуждения в этой задачи аналогичны предыдущим. Участок земли, который хочет купить Роберт, ограничен двумя меридианами
И во времена Пифагора, и в эпоху GPS (Глобальная система позиционирования) для определения точки на поверхности Земли (или на любой сфере) используется система позиционирования на основе понятий долготы и широты.
Большие круги, проходящие через полюса, называются меридианами, а линии, перпендикулярные им, — параллелями. Как уже говорилось, Земля напоминает апельсин, в котором края долек являются меридианами, а точки, где они пересекаются, — Северным и Южным полюсами. Единственный большой круг, одновременно являющийся параллелью, называется экватором, который делит Землю на два равных полушария. Нулевой меридиан проходит через город Гринвич в Англии.
Широтой называется расстояние до Северного или Южного полюса, в зависимости от полушария, в котором мы находимся. Широта измеряется в градусах от экватора. Долгота — это расстояние на восток или запад, то есть направо или налево от нулевого, или Гринвичского, меридиана. Долгота также измеряется в градусах.
Все точки на одной параллели находятся на одной и той же широте.
Из всей этой информации вытекает следующий вопрос: если целью системы позиционирования является определение положения точек на поверхности Земли, то почему широта и долгота измеряются в градусах, а не в километрах?
Для начала заметим, что поверхность, на которой производятся расчеты, является сферой. Чтобы отметить точку на ней, нам нужны только две координаты, потому что, хотя сфера искривляется, она не имеет третьего измерения и является двумерной поверхностью.
Это требует дополнительного разъяснения. Представьте себе круг, разделенный на 360°. Если через центр провести две перпендикулярные линии, то получатся четыре области (квадранта) в 90°, называемые круговыми секторами. Проводя через центр еще линии, можно получить сектора меньшего размера. Их дуги характеризуются размером угла. Это значит, что угловые измерения могут быть применены к любой точке окружности.
* * *
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЛАСТИ ЗЕМЛИ
Земля может быть разделена на бесчисленные дольки, величина каждой из которых выражается в градусах. Некоторые из этих областей используются в навигации и метеорологии и поэтому имеют специальные названия. Наиболее известными являются полярные круги, тропики и экватор.
* * *
Теперь представьте себе не круг, а сферу, такую как Земля. Если ее разделить на две части от одного полюса к другому, то можно использовать угловые измерения так же, как и в круге, и, следовательно, можно определять положение точки по угловым значениям широты и долготы.