Ноль: биография опасной идеи

Сейфе Чарльз

Его первооткрыватель едва не умер, не успев сделать первый вдох. Исаак Ньютон родился недоношенным на Рождество 1642 года, таким маленьким, что помещался в кружке объемом в кварту. Его отец, фермер, умер за два месяца до рождения сына.

Несмотря на тяжелое детство [27] и желание матери, чтобы он стал фермером, Ньютон поступил в 1660 году в Кембриджский университет и преуспел. За несколько лет он создал систематический метод разрешения проблемы касательной: теперь он мог вычислить касательную к любой плавной кривой в любой точке. Этот процесс представляет собой первую часть математического анализа, теперь известную как дифференциальное исчисление. Впрочем, способ Ньютона не особенно похож на тот, которым мы пользуемся сегодня.

27

Когда Ньютону было три года, его мать снова вышла замуж и переехала. Родив второму мужу троих детей, она практически не уделяла внимания Исааку. Даже после

смерти отчима Исаак и его мать мало общались, хотя, получив после смерти мужа хозяйство, мать пыталась переложить на плечи юного Ньютона управление фермой (прим. авт.).

Стиль дифференцирования Ньютона основывался на флюксиях (производных) — потоках — математических выражений, которые он называл флюентами (переменными). Как пример флюксий Ньютона рассмотрим уравнение y = x² + x + 1. В этом уравнении флюентами являются x и y; Ньютон полагал, что x и y меняются — текут — с течением времени. Скорость их изменения — их флюксии — он обозначал как x и y соответственно.

Метод дифференцирования Ньютона основывался на одном приеме: он позволял флюксиям изменяться, но изменяться бесконечно мало. По сути, он не давал им времени течь. В обозначениях Ньютона y в этот момент менялся на (y + оy), в то время как x менялся на (x + оx). (Буква «о» представляла собой количество прошедшего времени; оно было почти нолем, но не совсем, как мы увидим.)

Уравнение тогда принимает вид:

(y + оy) = (x + оx)² + (x + оx) +1.

Раскрытие выражения (x + оx)² дает нам y + оy = x² + 2x(оx) + (оx)² + x + оx + 1. Приведение членов дает y + оy = (x² + x + 1) + 2x(оx) + 1(оx) + (оx)². Поскольку y = x² + x + 1, мы можем вычесть y из левой части уравнения и x² + x + 1 из правой. Это дает нам оy = 2x(оx) + 1(оx) + (оx)². Дальше следует жульнический прием. Ньютон заявил, что поскольку оx на самом деле очень, очень мал, оx² еще меньше и исчезает. По сути это был ноль, и его можно было игнорировать. Это дает нам оy = 2x(оx) + 1(оx), а это значит, что оy / оx = 2x + 1. Это и есть угол наклона касательной в любой точке кривой (рис. 26).

Рис. 26. Чтобы найти угол наклона в любой точке параболы y = x² + x + 1, нужно использовать формулу 2x + 1

Бесконечно малый период времени о выпадает из уравнения, оy / оx превращается в y / x, и об о больше не нужно думать.

Метод давал правильный ответ, но ньютоновское действие исчезновения очень смущало. Если, как настаивал Ньютон, (оx)², (оx)³ и более высокие степени оx были равны нолю, то и само оx должно быть равно нолю [28] . С другой стороны, если оx — ноль, то деление на оx, как мы делали в конце, то же самое, что деление на ноль — как и самый последний шаг избавления от о в верхней и нижней части выражения оy / оx. Деление на ноль запрещено математической логикой.

28

Если вы перемножаете два числа и получаете ноль, то одно из них должно быть равно нолю. (В математических терминах: если ab = 0, то или a = 0, или b = 0.) Это значит, что если a² = 0, то aa = 0 и тем самым a = 0.

Ньютоновский метод флюксий был очень сомнителен. Он предполагал незаконную математическую операцию, однако обладал одним огромным преимуществом. Он работал. Метод флюксий не только разрешал проблему касательной, он разрешал и проблему площадей. Нахождение площади под кривой (или прямой, которая является одной из разновидностей кривой) — операция, которую мы теперь называем интегрированием, — всего лишь действие, обратное дифференцированию. Как дифференцирование выражения y = x² + x + 1 дает уравнение для наклона касательной y = 2x + 1, интегрирование уравнения y = 2x + 1 дает формулу для определения площади под кривой. Эта формула — y = x² + x + 1; площадь под кривой, ограниченной точками x = a и x = b просто равна (b² + b + 1) — (a² + a + 1) (рис. 27). (Технически формула имеет вид y = x² + x + c, где c есть любая константа. Процесс дифференцирования уничтожает часть информации, так что процесс интегрирования не дает вам точно тот ответ, который вы ищете, если только вы не добавите недостающие данные.)

Рис. 27. Чтобы узнать площадь под кривой y = 2x + 1, используйте формулу y = x² + x + 1

Математический анализ — это комбинация этих двух инструментов, дифференцирования и интегрирования, в одной упаковке. Хотя Ньютон нарушил некоторые очень важные математические правила, заигрывая с нолем и бесконечностью, математический анализ давал настолько мощные методы вычислений, что ни один математик не смог его отвергнуть.

Природа говорит уравнениями. В этом странное совпадение. Правила математики были выстроены на основании подсчета овец и измерения земельных участков, однако те же самые правила управляют Вселенной. Законы природы описываются уравнениями, а уравнения в определенном смысле — всего лишь инструменты, используя которые, вы вводите числа и получаете другое число. Древние знали несколько этих уравнений-законов, вроде закона рычага, но с началом научной революции уравнения-законы стали появляться отовсюду. Третий закон Кеплера описывал время, которое нужно планетам для обращения по орбите: r³ / t² = k, где t — время, r — расстояние и k — константа. В 1662 году Роберт Бойль показал, что если взять запечатанный сосуд с газом внутри и начать газ сжимать, то давление внутри возрастет: давление, умноженное на объем, есть константа: p = k, где p — давление, v — объем, k — константа. В 1676 году Роберт Гук вычислил силу действия пружины. Она равна отрицательной константе, умноженной на расстояние: f = –kx, где f — сила, x — расстояние, на которое растянута пружина, и k — константа. Эти ранние уравнения-законы были очень хороши для выражения простых зависимостей, однако уравнения имели ограничения — их постоянство, что не позволяло им быть универсальными.

Например, возьмем знаменитое уравнение, с которым все мы знакомимся в школе: скорость, умноженная на время, дает расстояние. Оно показывает, как далеко (на сколько миль — x) вы продвинетесь, если будете бежать с постоянной скоростью v в час на протяжении t часов: t = x. Это уравнение очень полезно, когда вы подсчитываете, сколько времени займет путь от Нью-Йорка до Чикаго на поезде, который едет со скоростью ровно 120 миль в час. Однако сколько предметов на самом деле двигаются с постоянной скоростью, как поезд в этом математическом примере? Уроните мяч, и окажется, что он падает все быстрее и быстрее. В данном случае уравнение x = vt попросту неверно. В случае падающего мяча x = gt² / 2, где g — ускорение, вызванное гравитацией. С другой стороны, если вы приложите к мячу увеличивающуюся силу, может оказаться, что x = at³ / 3. Равенство расстояния скорости, умноженной на время, — это не универсальный закон, он действует не при всех условиях.

Исчисление позволило Ньютону объединить все эти уравнения в один великий свод законов — законов, приложимых во всех случаях, при всех условиях. Впервые наука смогла увидеть универсальные законы, лежащие в основе всех этих мелких полузаконов. Несмотря на то, что математики знали о глубинном пороке анализа, связанном с математикой ноля и бесконечности, они быстро восприняли новые математические инструменты. Дело в том, что природа говорит не обычными уравнениями. Она говорит дифференциальными уравнениями, и математический анализ — инструмент, который нужен, чтобы их создавать и решать.