Оксфордские памфлеты. Часть I
Шрифт:
Следующая теорема ведёт своё происхождение от радикального ряда в Арифметической Прогрессии: обозначим сам ряд как АР, а его сумму как (А.Р.)S. Было найдено, что функция (А.Р.)S. в различных формах участвует в вышеописанной процедуре. Тогда эксперимента ради решили преобразовать (А.Р.)S. в какую-нибудь новую систему счисления, ведь первоначально, на протяжении длинного ряда... семестров, она существовала то в семиречной, то в двуречной системах счисления; отражённая в этих системах, наша функция предоставила нам много красивых выражений. Ныне она переведена в десятеричный вид [17] .
17
Буквенное выражение (А.Р.)S. означает не только сумму радикального ряда арифметической прогрессии, но и самого Артура Пенрина Стэнли (1815—1881), который «рядом соглашений через нескончаемые разногласия» настойчиво склонял мнение Университета на сторону Джоветта. Преобразование (А.Р.)S. «в десятеричный (правильнее — десятичный) вид» — намёк на состоявшееся в 1864 году назначение Пенрина Стэнли деканом (т. е., как нам уже известно, настоятелем и главой капитула) Вестминстерского собора (до этого Пенрин Стэнли занимал Королевскую кафедру церковной истории в Оксфорде, одновременно являясь членом собрания каноников Христовой Церкви — Крайст Чёрч). Это назначение знаменовало смену всего прежнего руководства Высокой церкви, стремившегося добиться осуждения взглядов, выдвинутых Джоветтом и Темплем в «Очерках и рецензиях». Знаменитый «декан Стэнли» занимал активную умеренную позицию и в других церковных спорах —
Произведя эти преобразования, процедуру разделения голосов повторили, но с тем же отрицательным результатом, после чего попытки были оставлены, хоть и не без надежды на будущих математиков, которым после привлечения некоторого количества прежде не определившихся постоянных, возведённых во вторую степень, возможно, удастся достичь положительного результата.
Давно было ясно, что основное препятствие к вычислению — это присутствие J. В предыдущую эпоху развития математики ради устранения J не ограничились бы даже двумя секущими на прямоугольной площади, а произвели бы вдобавок отделение меньшей части от большей — так называемая процедура устранения по произволу, которая ныне считается не вполне законной.
Ныне же одни предлагали исключить J на основании процедуры, состоящей из двух действий, одно из которых называется «получением достатка», а второе — «обращением остатка»; до её применения, однако, дело не дошло, поскольку J сделались нерешительными. Другие сторонники данного метода предпочли бы, чтобы J исключались in toto [18] . Получившим классическое образование едва ли стоит напоминать, что toto есть аблятив от tumtum [19] и что это прекрасное и выразительное словцо знаменует желание устранить J через принудительное религиозное освидетельствование.
18
всем скопом (лат).
19
В ортодоксальном иудейском праве Галахе это слово означает существо неопределённого пола (наподобие андрогина). Здесь может означать ‘то, не знаю что’. И всё-таки toto — косвенный падеж не от tumtum, а от totum ‘всё, весь’, ‘целое’; Доджсон шутит.
Затем предлагалось устранить J посредством канонизанта [20] . Главное возражение по поводу этой процедуры заключалось в том, что в результате J возводится в неоправданно высокую степень, а в конечном счёте приобретает иррациональное значение [21] .
Для оценки предлагались и другие процедуры, которых нам нет нужды здесь рассматривать. Согласно одной из них, должна считаться заданной величиной: эта теория была поддержана многими выдающимися мужами в Кембридже и кое-где ещё, но стоило её применить, как оказалось, что J отвечают отрицательным знаком — а это, разумеется, не способствовало делу.
20
Первоначально возникнув во французском, где означал канонизирующего (церковн.), этот термин возродился в новом качестве в 1852 году, когда Джеймс Джозеф Сильвестр ввёл его в свои работы по теории квадратичных форм (каковой принадлежат процедуры так называемого приведения к каноническому виду, исключения переменной и проч.). Сильвестр (1814—1897) был одним из трёх наиболее выдающихся алгебраистов Англии XIX века; имя другого, Джорджа Сальмона, читатель встретит в следующем памфлете настоящего сборника (третьим был Артур Кэли). Подобно Доджсону, Сильвестр был не только математиком, но и острословом, а также автором нескольких стихотворений; он считается вторым наиболее плодовитым создателем новых терминов за всю историю математики после Лейбница (см.: Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. М., «Наука», С. 237.). Именно ему алгебра, а также связанная с ней физика, обязаны названием важного функционального определителя — якобиана, в честь Карла Густава Якоба Якоби, которого Доджсон также упоминает в «Динамике партийной горячки». Сильвестру принадлежат и другие вошедшие в обиход науки термины: инвариант, ковариант, конгредиентный и проч. Ирония при упоминании здесь канонизанта заключается ещё и в том, что в англиканстве, как и в протестантизме вообще, отсутствует культ святых, третируемый как папистское мракобесие, только оскверняющее католицизм; Сильвестр же под пару весело и «подозрительно» звучащему термину «канонизант» вводит в соответствующих работах ещё и термин «католикант».
В свою очередь и Доджсон не пренебрегал созданием новых терминов, когда это казалось ему необходимым (см., например, работу «Евклид и его современные соперники»).
21
Слово «иррациональный» тут, опять же, имеет двойной смысл. Употребляясь в качестве бытового синонима понятиям «неразумный», «противоречащий здравому смыслу» (и тогда символ «пи» везде следует прочитывать как «пай»), это слово есть также особый термин теории чисел. Числа подразделяются, во-первых, на рациональные и иррациональные. Рациональные — это целые или дробные числа, как положительные, так и отрицательные, которые можно представить в виде m/n, где m и n — целые числа. Таким образом, рациональные числа — это числа, выражающие собой то отношение, в котором одно целое число находится к другому целому числу. Иррациональные числа не способны выражать такие отношения точно; но приближённо их можно заменить рациональным числом m/n, причём с любой степенью точности. В любом случае можно найти правильную или неправильную десятичную дробь, которая как угодно мало отличалась бы от данного иррационального числа. Самые простые и исторически первые известные иррациональные числа — это 2, 2 и другие, в том числе составные, выражения под знаком корня; это так называемые иррациональные числа, выражающиеся через радикалы.
Иррациональность числа доказал в 1767 г. Иоганн Ламберт, исследуя сходимость разложения в цепную дробь. Для получения численного значения числа с заданной точностью разложением в каноническую цепную дробь применяли процесс многократного чередования двух действий, которые и в самом деле носили названия «получение достатка» и «обращение остатка»: достатком называется целая часть числа (т. е. 3), а остатком — дробная (0,14159265…), обращение остатка есть запись последней в виде дроби 1/(7,062515…), у которой теперь достаток равен 7, а остаток, соответственно, 0,62515… и т. д. Тогда непрерывная каноническая цепная дробь, представляющая число , записывается так:
=3+1/(7+ 1/(15+ 1/(1+ 1/(292+···)))).
Числа, являющиеся корнями алгебраических уравнений с целыми коэффициентами (а таково любое число, выражающееся в квадратных радикалах), называются алгебраическими числами. Во второй половине XIX века Георг Кантор доказал, что алгебраических чисел меньше, чем вещественных, из чего следовало, что должны существовать иррациональные числа, не являющиеся алгебраическими. Такие числа предвидел ещё Эйлер, назвавший их (в 1775 г.) трансцендентными, т. е. ‘выходящими за пределы’. Доказательство Кантора существования трансцендентных чисел, однако, не позволяло назвать и тем более вычислить хотя бы одно трансцендентное число. Но затем (в 1871 г.) Эрмит доказал трансцендентность числа e. Число является вторым числом в истории математики, для которого была установлена трансцендентность — Линдеманом в 1882 году.
Доджсон об этом ещё не знал; свой памфлет он написал в 1865 г. Однако тот факт, что, как трансцендентное, число есть такое выражение пая, которое и невозможно свести к целочисленному значению наподобие 40, 400 и т. п. или ряду (числовой последовательности) целочисленных значений никаким алгебраическим преобразованием, является прекрасным дополнением к изложению истории потуг оксфордского истеблишмента.
Теперь мы приступаем к описанию новейшего метода, который увенчался блистательным и неожиданным успехом и который может быть назван как
Математики уже исследовали геометрическое место точек HPL и ввели эту функцию в свои расчёты. Это, однако, не способствовало получению столь чаемого численного значения — даже при переносе HPL в противоположную сторону уравнения с изменением знака. Процедура, которую мы собираемся описать, заключается главным образом в подстановке G на место Р и в приложении давления.
Пусть функция (HGL) [22] развёрнута в ряд; допустим, что его сумма есть абсолютно твёрдое тело, двигающееся по фиксированной прямой. Буквой µ обозначим коэффициент морального обязательства, а буквой е — целесообразность. Буквой F обозначим Силу, действующую равным образом во всех направлениях и изменяющуюся обратно пропорционально Т; символ А пусть означает Компетентного, а символ Е — Просвещённого [23] .
22
Буквы HGL — это инициалы Генри Джорджа Лидделла, главы (декана) как собрания каноников Христовой Церкви, так и относящегося к ней колледжа (по отечественному словоупотреблению, его «ректора») . Доджсон говорит, что функция декана Лидделла в деле Джоветта заключалась в уступке давлению и отказе от моральных обязательств ради заявленной собранием каноников целесообразности (см. прим. [5]).
23
Здесь e — от англ. expediency, A — от Able, а E — от Enlightened. При переводе памфлета везде было важно сохранить обозначения абстрактных понятий по их первым английским буквам, поскольку эти буквы в дальнейшем складываются автором в инициалы участвовавших в деле Джоветта персон.
Разложим теперь (HGL) по теореме Маклорена [24] . Сама функция исчезает при исчезновении переменной:
(0) = 0
'(0) = С (простая константа)
''(0) = 2·J
'''(0) = 2·3·H
''''(0) = 2·3·4·S
'''''(0) = 2·3·4·5·P
''''''(0) = 2·3·4·5·6·J
и далее представленные буквами величины повторяются в том же порядке.
Приведённое выше доказательство взято из учёного трактата под названием «Augusti de fallibilitate historicorum» [25] , где оно занимает целую главу; вычисление приведено в следующей главе. Автор пользуется случаем указать на несколько замечательных свойств, которыми обладает вышеприведённая последовательность и существование которых едва ли можно было подозревать заранее. Эта последовательность является функцией как µ, так и е, но если рассматривать её в качестве твёрдого тела, то оказывается, что µ равняется нулю и остаётся только е.
24
Математические методы, упомянутые выше, использовали медленно сходящиеся ряды либо сложные операции извлечения квадратного корня. Впервые быстро сходящийся ряд для вычисления числа получил Леонард Эйлер (автор самого обозначения «»), разложив в ряд Тейлора (частный случай — ряд Маклорена, см. ниже) арктангенсы формулы Джона Мэчина (1706) /4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Таким способом Эйлер получил число с точностью до сто пятьдесят третьего знака.
25
Название, скорее всего, является вымышленным и шутливым; оно переводится с латыни как ‘[книга императора] Августа «О погрешимости историков»’ и образовано по общему типу. Не исключено, что само же выражение «О погрешимости историков» («De fallibilitate historicorum») отталкивается от знаменательного католического догмата «О непогрешимости папы» («De infallibilitate papae»), хоть и принятого в качестве такового лишь пять лет спустя после написания настоящего памфлета, на Первом Ватиканском соборе в 1870 году, но обсуждавшегося и ранее.
Теперь мы имеем уравнение [26] :
(HGL) = 0 + C + J + H + S + P + J.
Такое суммирование дало минимальное значение пая; оно, однако, рассматривалось лишь как первое приближение, и вся процедура повторялась под давлением EAF, что дало для пая частное максимальное значение. Последовательно повышая EAF, в конце концов получили результат:
= S = 500,00000.
Данный результат значительно отличается даже от предуказанной величины в 400,00000; но не должно возникнуть сомнений, что данная процедура выполнена корректно и что весь учёный мир теперь можно поздравить с окончательным решением этой труднейшей проблемы.
26
Оно получено после подстановки (0), '(0), ... ''''''(0) в ряд Маклорена для (HGL).
ДИНАМИКА ПАРТИЙНОЙ ГОРЯЧКИ
Был чудный осенний вечер; пока земля уворачивалась от огромного светила, слепившего её с запада, в атмосфере началось великолепное действо оптической аберрации, и как раз об эту пору вдали показались две прямые, пролагавшие свой утомительный путь по плоской поверхности. Из них старшая благодаря длительной практике не худо справлялась со столь мучительным для более молодой и импульсивной линии делом — ровно лежать между своими крайними точками; молодая же в девической порывистости непрестанно отклонялась и принимала вид то гиперболы, то какой-нибудь иной столь же романтичной и необузданной кривой. Обеим довелось жить и любить; судьба и встрявшая в их отношения поверхность по сию пору удерживали их порознь, но теперь этому пришёл конец: их пересекла некая прямая, образовав при этом два внутренних угла, в сумме меньших чем два прямых [28] . Мгновение было незабываемым, и пока они продолжали своё путешествие, вдоль плоскости изохронными звуковыми волнами дрожал шёпот: «Да! По продолжении мы, наконец, встретимся!» (См. Курс математики Якоби, гл. 1.)
27
Байрон, «Дон Жуан», песнь XI, строфа 60. В этой строфе говорится о том, что недоброжелательная рецензия ускорила безвременную смерть Джона Китса. Сам же памфлет есть геометризированное изложение соперничества Уильяма Гладстона и Гэторна Харди за право представлять Оксфордский университет в парламенте, а также критика в целом так называемой «системы пропорционального представительства» — механизма, по которому университет избирал своих членов в парламент вплоть до 1950 года, когда соответствующая привилегия, пожалованная ему в 1604 году, была упразднена.
28
Иными словами, с этого момента прямые перестали быть параллельными.
Мы начали с вышеприведённой цитаты, поскольку она является яркой иллюстрацией того преимущества, которое даёт введение человеческого элемента в ту область Математики, что ранее лишь наводила скуку. Кто скажет, какие зародыши романтических приключений, до сих пор недоступные наблюдению, не могут залегать в её глубине? Кто способен утверждать, что параллелограмм, по поводу которого, только что рассчитанного нами в нашем невежестве и начерченного на бумаге, мы заявили во всеуслышание, будто нам известен полный набор его свойств, не может с рождения пылать страстью к внешним углам, сочувствовать внутренним или угрюмо роптать на собственную неспособность вписаться в круг? Какому математику из когда-либо склонявшихся над гиперболой, чтобы раскромсать несчастную кривую секущими прямыми в попытке доказать некое свойство, которое в конце концов, возможно, есть просто-напросто клевета, не чудилось под конец, будто обиженная линия в молчаливом упрёке воздевает свои асимптоты или с презрительной жалостью мигает ему своим единственным фокусом?