Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
10.12. Данные уравнения симметричны относительно у и z и не симметричны (второе) относительно x. Если воспользоваться вторым уравнением и из первого выразить у + z через x, то мы получим простую систему относительно у и z, где x выступает в роли свободного члена.
10.13. Данные уравнения можно переписать в виде
у + z = 5 - x, yz + x(z + y) = 8,
после
10.14. Нужно рассмотреть три случая, в зависимости от того, положителен, отрицателен или равен нулю дискриминант трехчлена. Затем обратить внимание на знак старшего коэффициента. (!)
10.15. Так как коэффициент при x^2 положителен, то ветви параболы направлены вверх. Рассмотреть возможное расположение корней параболы относительно отрезка 1 < x < 2.
10.16. Воспользоваться теоремой Виета и рассмотреть случаи, когда х1 и x2 одного знака и разных знаков.
10.17. Определить направление ветвей параболы и расположение ее корней относительно точек -1 и +1, чтобы условия задачи выполнялись.
10.18. Если m /= 0 (случай m = 0 следует рассмотреть отдельно), то ветви параболы у = mx^2 - 4x + 3m + 1 должны быть направлены вверх.
10.19. Рассмотреть случаи, позволяющие раскрыть знаки абсолютной величины. Удобнее записать это неравенство как совокупность двух систем: в первой выражение, стоящее под знаком абсолютной величины, неотрицательно, а во второй системе оно отрицательно. (!)
10.20. Чтобы избавиться от знаков абсолютных величин, достаточно вспомнить о том, как они могли быть получены, например
10.21. Чтобы упростить данное неравенство, его нужно умножить на 4x. Поскольку результат будет зависеть от знака x, необходимо рассмотреть два случая: x < 0 и x > 0. (!)
10.22. Если перенести 3 в левую часть неравенства и привести полученное выражение к общему знаменателю, то получим дробь, которая должна быть отрицательной.
10.23. Неравенство можно упростить, если перенести все в одну сторону, привести выражения, стоящие под радикалами, к общему знаменателю и вынести за скобки неотрицательный множитель
10.24. Удобно рассмотреть два случая: x > 0 и x < 0 (при x = 0 сразу видно, что неравенство
10.25. В неравенство входит сумма двух выражений: x ,
10.26. Поскольку второе слагаемое всегда неотрицательно, целесообразно рассмотреть два случая: x > 0 и x <= 0.
10.27. Если привести обе части неравенства к основанию 2, то можно заметить симметрию показателей.
10.28. Если перенести все влево и сгруппировать члены, содержащие иррациональное выражение в показателе степени, то это поможет разложить левую часть на множители. (!)
10.29. Придется разобрать два случая: x > 0 и x <= 0. Когда x > 0, данное неравенство равносильно такому:
10.30. Чтобы сравнить показатели степени, необходимо выяснить, как основание расположено по отношению к единице.
10.31. Так как обязательно x > 0, то можно упростить неравенство, разделив обе его части на x.
10.32. При x > 0 получаем равносильное неравенство
Что будет при x < 0?
10.33. При возведении в квадрат нужно потребовать, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. (!)
10.34. Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным. Абсолютная величина выражения неотрицательна. Как видите, это не совсем одно и то же. (!)
10.35. При решении логарифмических неравенств удобнее иметь дело с одинаковыми основаниями логарифмов. Если вы выбрали в качестве такого основания число 5, то обратите внимание на правую часть неравенства. Осуществив в ней почленное деление числителя на знаменатель, вы обнаружите, что
10.36. Перейти к одному основанию и получить под знаками логарифма одинаковое число. (!)
10.37. Неравенство легко приводится к виду
log|x + 6|(x^2 - x– 2) >= 1. (!)
10.38. Если обозначить logаx = у, то получим простое неравенство относительно у.
10.39. Перейти к общему основанию k.