Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

3.43. Условия задачи отражены на рис. I.3.43. Ввести линейные элементы, определяющие конус, и выразить их через ребро куба.

3.44. Поскольку в усеченную пирамиду вписан шар, то объем пирамиды можно представить в виде произведения одной трети радиуса шара на полную поверхность пирамиды. Обозначим стороны нижнего и верхнего основания через а и b соответственно. Воспользовавшись сравнением объемов, — в качестве второго выражения для объема нужно взять обычную формулу

 —

выразим площадь боковой грани пирамиды через а и b.

3.45. Нет необходимости изображать сами шары. Достаточно изобразить их центры и точки их касания с плоскостью.

3.46. Фигуры, о которых говорится в условии задачи, расположены так, что у них имеются две плоскости симметрии. Первая плоскость симметрии пройдет через ребро данного двугранного угла и через центр меньшего шара. На этой плоскости окажутся центры двух других шаров. Вторая плоскость симметрии будет перпендикулярна к ребру двугранного угла и тоже пройдет через центр меньшего шара. Поэтому достаточно сделать каркасный чертеж, на котором изобразить лишь одну из четырех равных частей данной конфигурации.

3.47. У рассматриваемой фигуры будут три плоскости симметрии, проходящие через ось конуса и центр одного из шаров. Проекции центров трех шаров на плоскость P образуют равносторонний треугольник, сторона которого равна 2R. Сделать каркасный чертеж.

3.48. Чтобы использовать условие задачи, нужно рассмотреть два соседних конуса. При этом нет необходимости рисовать их целиком, достаточно изобразить оси, общую образующую и образующие, по которым конусы касаются плоскости.

3.49. По условию сфера, радиус которой нужно найти, вписана в трехгранный угол А (рис. I.3.49). Это означает, что ее центр лежит на высоте АО. Однако все точки высоты АО (кроме концов) лежат внутри сферы, построенной на AB. Следовательно, касание двух сфер может быть только внутренним.

3.50. Искомое тело можно представить себе как часть пространства, заполненную в результате вращения вокруг оси РР (рис. I.3.50) треугольника SАВ и всех сечений пирамиды, проходящих через вершину S параллельно AB. Таким сечением является, например, треугольник SEF, изображенный на рис. I.3.50.

3.51. Способ 1. Задачу можно решить аналитически, если выразить полную поверхность конуса через радиус вписанного в него шара и угол а (рис. I.3.51; на нем изображено осевое сечение конуса). Затем следует воспользоваться соотношением S_пк = 2S_ш. В результате получим тригонометрическое уравнение относительно .

Способ 2. Объем конуса можно представить себе как сумму объемов V₁ и V₂ где V₁ — объем тела, полученного вращением треугольника ASO вокруг оси конуса, а V₂ — объем конуса с осевым сечением АОВ.

3.52. Пусть АВС и А₁В₁С₁ —

основания призмы, а В₁В — ее ребро, принадлежащее двум равновеликим граням. Докажите, что вершина В₁ проецируется тогда на биссектрису одного из углов, образованных прямыми AB и BC. Может ли проекция вершины В₁ оказаться на биссектрисе внешнего угла треугольника АВС?

3.53. О пирамидах не сказано, какие они. Поэтому следует попытаться заполнить ими весь объем куба.

3.54. Высота SP пирамиды SABС (рис. I.3.54) фиксирована и равна 4. В основании правильный треугольник АВС со стороной 6. Кроме того, основание высоты не покидает треугольник АВС. Следовательно, вершина S пирамиды SАВС лежит в плоскости, параллельной плоскости треугольника АВС, и отстоящей от нее на расстоянии, равном 4. Если мы построим на основании АВС прямую призму А₁В₁С₁ABC с ребром 4, то вершина S пирамиды SАВС будет принадлежать верхнему основанию этой призмы.

K главе 4

4.1. Построение сечения, о котором идет речь в задаче, показано на рис. I.4.1. Вначале найдена точка F сечения, лежащая в плоскости нижнего основания на пересечении прямых АЕ и DС.

4.2. Построение сечения показано на рис. I.4.2, который подсказывает и рациональный способ вычисления площади сечения.

4.3. Чтобы построить сечение, проведите прямую через вершину А и центр верхнего основания и найдите точку пересечения этой прямой с ребром СС₁.

4.4. Сечение BEFG (рис. I.4.4) разбивает пирамиду на две части. Удобнее найти объем той части пирамиды, которая лежит под сечением, представив эту фигуру в виде разности двух пирамид EBCM и FGDM.

4.5. Сечение должно пройти через точки А, D и N (рис. I.4.5). Если их соединить, то получим пирамиду NACD, которую сечение отрезает от половины данной пирамиды.

4.6. Основную трудность в этой задаче представляет построение сечения. Начните с построения вспомогательного треугольника PQR.

4.7. Связать сечение с перпендикулярной к нему плоскостью центрального сечения пирамиды.